التباديل و التوافيق و ذات الحدين

مبدأ العد:
إذا أمكن أجراء حدث ما بطرق عددها "م" ، و أمكن أجراء حدث آخر بطرق عددها "ن"، فانه يمكن أجراء الحدثين معا بطرق عددها "م × ن " .

مثال 1:
طالب يمكنه الذهاب إلى مدرسته بثلاثة طرق و يمكنه العودة إلى منزله بطريقين ،فبكم طريقة يمكنه الذهاب و العودة ؟
الحل
عدد الطرق =3×2=6

مثال 2 :
مدرسه تعطي ثلاثة جوائز في المجال الرياضي للطلاب المتميزين في التنس و السباحة و كرة القدم ، فإذا كان عدد المتنافسين في اللعبات الثلاثة هو 8،7،12 علي الترتيب .أوجد عدد الطرق التي يمكن بها توزيع الجوائز الثلاثة ؟
الحل
عدد الطرق =8×7×12=672
* التباديل
تعريف : إذا كان لدينا مجموعة من العناصر ،فأي ترتيب يأخذ كل أو بعض العناصر في ترتيب معين يسمي تبديله و إذا كان عدد العناصر = ن ، أخذت راء مع مراعاة الترتيب فان عدد التباديل يرمز له بالرمز " نلر " حيث .

قوانين هامة :
1) نلر =ن (ن-1) (ن-2) 000000 (ن-ر+1)
2) نلن =ن(ن-1) (ن-2)0000000 ×3×2×1 = ن


مثال 3:
ما عدد التباديل التي يمكن إيجادها من خمسة أنواع من الفاكهة حيث أن كل منها مكون من نوعين بدون تكرار .
الحل
عدد التباديل= 5ل2 = 5×4= 20
مثال 4:

الحل
عدد الطرق التي يمكن بها الكتابة =5×4×3×2×1= 120
عدد الطرق التي يمكن بها كتابة 4 فى الاحاد، 5 في العشرات =1×1×3×2×1=6
عدد الطرق المطلوبة =120-6=114


الحل


مثال 6

الحل

مثال 7

الحل


مثال 8



الحل


8- ر = 2 ر=6

مثال 9
أوجد عدد عناصر "ى" إذا كان :

ى = }( ا،ب،جـ) ، ا ، ب ، جـ  س ، أ ≠ ب≠ جـ{
الحل
ن(س)=9
عدد عناصر"ى" = 9 ل3 = 9×8×7=504
مثال 10:
إذا كان 3 × نل ر-1 = 5× ن-1 ل ر-1 ، ن+1 ل ر =2×ن ل ر . أوجد قيمة كل من "ن" , "ر".
الحل




التوافيق

تعريف: إذا كان لدينا مجموعة من العناصر ،فأي ترتيب بأخذ كل أو بعض العناصر بغض النظر عن الترتيب يسمي توفيقه ، و إذا كان عدد العناصر "ن" ،أخذت راء راء بدون مراعاة الترتيب فأن عدد التوافيق يرمز له بالرمز


قوانين هامة :


نقر = نقن-ر

نقن = 1

ن ق صفر = 1

إذا كان نقر = نقأ فإن ر = أ
أو ر+ أ = ن


مثال 1:
أوجد قيمة ن إذا كان نق2 = 435
الحل


مثال 2:
إذا كان نقر2 +2ر = ن ق2 ر+5 ، نق3 = 120
أوجد قيمة ن ق7 ر+3
الحل
نق3 = 120

10قر2+2ر = 10ق2ر+5

( مرفوض) ( ر + 5 )( ر - 1 ) = صفر
ر = -5 (مرفوض)
ر = 1
نق7ر +3 = 10ق10 = 1

مثال 3:
أثبت أن نقر + نقر+1 = ن+1قر+1
ومن ثم أثبت أن :


ب) نقر+1 + 2× نقر + نقر-1 =ن+2قر+1
الحل


ب) الطرف الأيمن = ( نقر+1 + نقر ) + (نقر + نقر-1 )
= ن+1قر+1 + ن+1قر = ن+2قر+1
= الطرف الأيسر .

مثال 4 :
بكم طريقة يمكن اختيار 7 أشخاص من مجموعة مكونه من 9 بنات ، 5 أولاد بحيث تحتوي علي 3 أولاد ، 4 بنات
الحل
عدد طرق الاختيار = 9ق4 × 5ق3
= 126 ×10 = 1260

مثال 5:

الحل

مثال6:

الحل



مثال 7:
إذا كان مل3 =210 ، م+ن ل3 = 720 أوجد قيمة م ق ن
الحل
مل3 = 210=7ل3  م=7



مثال 8:

الحل



مثال 9:

الحل

مثال 10:
إذا كان 5× نق6 = 12× نق4 أوجد قيمة ن-3ل3
الحل

( ن-5) (ن - 4) = 72 ن2 -9 ن -52 =0
( ن-13 ) ( ن + 4 ) =0

ن = 13 والحل السالب مرفوض
ن-3ل 3 = 10ل3 = 10×9×8= 720

مثال 11:

الحل



مثال 12:

الحل


مثال 13:

الحل





*نظرية ذات الحدين بأس صحيح موجب
(أ +ب)1 = أ +ب
( أ+ ب)2 = أ2 +2أب + ب2
( أ+ ب)3 = أ3 +3أ2 ب +3أب2 + ب3
نظرية
(أ+ب)ن =ن قصفر أن + نق1 ×أن -1 ×ب + نق2 ×أن -2 ×ب2 + ... +نقن ×بن
نتائج
1)(1+ س)ن = 1 +ن ق1 س + نق2 س2 +... سن
2)(1 - س)ن = 1 - ن ق1 س + نق2 س2 +...+(- س)ن
مثال (1)
أوجد مفكوك (أ +ب )4
الحل
( أ+ب)4 = أ4 + 4ق1 أ3 ب + 4ق2 أ2ب2 + 4ق3 أ ب3 + 4ق4 ب4
= أ4 + 4 أ3 ب +6 أ2 ب2 +4 أ ب3 +ب 4

مثال(2)
أوجد مفكوك (1-3س)5
الحل
(1-3س)5 =1-5ق1 ×3س+ 5 ق2 ×(3س)2 - 5ق3 × (3س)3 +5ق4 ×(3س)4- 5ق5 ×(3س)5
= 1-15 س +90 س2 - 270 س3 + 405 س4 - 243 س5

الحد العام في مفكوك (أ +ب)ن
ح ر + 1 = ن ق ر × الثاني)ر × ( الأول)ن -ر(

مثال 3

الحل




مثال 4 :
الحل
معامل حر+1 =ن قر ×( معامل الحد الثاني)ر × (معامل الحد الأول)ن-ر
معامل ح6 = 8ق5 × (-3)5 × (2×1)3
= 56 × -243 ×8 = - 108864
مثال 5:
أوجد معامل الحد الرائي في مفكوك (س + 1)2ن
الحل
ح ر =2ن قر-1 × (1 )ر-1 × (س)2ن+1-ر


مثال 6 :

الحل
المقدار = 2( ح2 + ح4+ ح6+ح8 )
= 2  7ق1× س + 7ق3 × س3 + 7ق5 × س5 + 7ق7 × س7 
= 2  7 س + 35 س 3 + 21 س5 + س 7 
= 14 س + 70 س3 + 42 س5 + 2 س7

مثال 7 :
بدون استخدام الآلة الحاسبة أوجد قيمه :
(1.01)5 + (0.99 )5 مقربا النتائج لثلاثة أرقام عشرية
الحل
المقدار = ( 1+ 0.01 )5 + (1 - 0.01)5
= 2 ح1 +ح3 + ح5 
= 2  1 + 5 ق2 × (0.01)2 + 5 ق4 × (0.01)4
= 2  1 + 10 × (0.01)2 + 5 × ( 0.01)4 [
= 2 + 20 × (0.01 ) 2 + 10 × ( 0.01 )4
= 2.002
الحد الأوسط في مفكوك (س + أ)ن
إذا كان ( ن ) فردي : عدد الحدود = ن+1 (زوجي )
يوجد حدان أوسطان رتبتاهما

2- إذا كان ( ن) زوجي : عدد الحدود = ن+1 (فردي)
يوجد حد أوسط واحد رتبته

مثال 8 :

الحل
ن=10 عدد الحدود =11

ح6 = 10 ق5 × (س-1)5 × (2س2)5
= 10 ق5 × س-5 × 2 5 × س10
= 32 × 10 ق5 × س5
= 8064 س5
مثال 9 :
أوجد الحدين الأوسطين في مفكوك

الحل
ن=7 عدد الحدود = 8


مثال 10 :
إذا كان أ ، ب هما الحدان الأوسطان في مفكوك

حسب قوي س التنازلية .

اثبت أن أ + ب س2 = صفر
الحل
أ = ح8 ، ب = ح9
الطرف الأيمن = أ + ب س2 = ح8 + س2 ح9


مثال 11 :

الحل

الحد الذي يحتوي علي س9 هو ح4
معامل ح4 = 10ق3 × (-1)3 = - ( 10ق3 ) = -120
مثال 12:

الحل


مثال 13
اثبت انه لا يوجد حد خال من س في مفكوك الحل

لا يوجد حد خال من (س) في هذا المفكوك .
مثال 14:

الحل
حر +1 = نقر × (س-1)ر × (س2 )ن -ر
= نقر × س-ر × س2 ن - 2ر
= نقر × س 2ن -3ر

ن يقبل القسمة على 3 [ أي مضاعف للعدد 3]
عند ما ن = 12

ح9 = 12ق8 = 12ق4 = 495

النسبة بين أى حد والحد السابق له مباشر فى مفكوك( س + أ )ن

مثال 15:
إذا كان الحدان الأوسطان في مفكوك (2 س + 3)17
متساويين . أوجد قيمة س
الحل

مثال 16:
ح2 ،ح3 ،ح4 في مفكوك ( س +ص )ن

الحل





مثال 17 :
معاملات ثلاثة حدود متتالية في مفكوك (1 + س )ن هي على الترتيب 20 ،190 ،1140
أوجد قيمة "ن" ، و ترتيب هذه الحدود
الحل
نفرض هذه الحدود ح ر ،ح ر+1 ،ح ر+2






مثال 18:
في مفكوك (1 + س)ن حسب قوى "س" التصاعدية
إذا كان ح4 = ح2 ، و كان ح5 = ح6
أوجد قيمة كل من "ن" ، "س"
الحل

بالضرب في 6
(ن - 2 ) (ن -1 ) س2= 50 (1)

( ن - 4)2 ×س2 = 25 (2)
بقسمة "1" على "2"
2ن2-16ن+32=ن2-3ن+2
ن2 - 13ن + 30 = صفر
( ن - 3 ) ( ن - 10 ) = صفر
ن = 3 مرفوض لأن عدد الحدود سيكون أربعة فقط


مثال 19:
في مفكوك حسب قوى "س" التنازلية
أوجد الحد الخالى من س وإذا كانت النسبة بين الحد الخالى من "س" و الحد السادس هي

أوجد قيمة "س"
الحل
حر+1 = 9ق ر × ( س-1 ) ر × (س2 )9 - ر
= 9ق ر × س - ر × س 18 -2 ر

حر+1 = 9ق ر × س 18 - 3 ر
18 -3ر = صفر ر =6
الحد الخال من "س" هو ح7 =9 ق6 =9 ق3 = 84
حر+1 = 9ق ر × ( س-1 ) ر × (س2 )9 - ر
= 9ق ر × س - ر × س 18 -2 ر

حر+1 = 9ق ر × س 18 - 3 ر
18 -3ر = صفر ر =6
الحد الخال من "س" هو ح7 =9 ق6 =9 ق3 = 84

مثال 20 :
في مفكوك حسب قوي "س" التنازلية

الحل

الحد الذي يحتوي علي س4 هو ح5
ح5 = 12 ق 4 س 4 ، عدد الحدود =12+1=13
الحد الأوسط هو ح7 =





مثال21 :

مساويا للحد الخال من "س" في هذا المفكوك . أوجد قيمة أ
الحل
معامل س16 = 28أ2

لإيجاد الحد الخال من س
24 - 4 ر = صفر ر = 6
ح7 هو الحد الخال من س
ح7 =8 ق6 × أ6 = 8ق2 ×أ6 = 28 أ6
28 أ6 =28 أ2 (÷ 28)
أ2 ( أ4 -1 ) = صفر
أ = 1
مثال22:
أوجد قيمة الحد الخال من "س" في مفكوك
ثم اثبت أن الحدين الاوسطين متساويان عند ما س =
الحل

الحد الخال من "س" هو ح7
ح7 =9 ق6 = 9 ق3 = 84
الحدان الاوسطان هما ح5 ، ح6


= 1
27 س3 =1
س =

مثال 23 :
في مفكوك حسب قوي "س"
التنازلية ، إذا كان الحد الخالى من "س" مساويا لمعامل الحد السابع .
اثبت أن 6 أ ب = 5
الحل

الحد الخال من "س" هو ح6


6 أ ب = 5
الأعداد المركبة
مقدمة:
أوجد حل المعادلة س2 +1 = صفر فى ح
الحل

مجموعة الأعداد المركبة كـ
كـ = }س + ص ت ، س ، ص  ح ، ت2 = -1{
و يرمز للعدد المركب بالرمز ع = س +ص ت
س يسمى الجزء الحقيقي ، ص يسمى الجزء التخيل

1] العددان المركبان ع 1 = س1 + ص1 ت ، ع2 = س2 + ص2 ت متساويان إذا كان س1 = س2 ، ص1 = ص2 و العكس صحيح
2] إذا كان ع1 = س1 + ص1 ت ، ع2 = س2 + ص2 ت
فان ع1 + ع2 = (س1 + س2 ) + (ص1 + ص2 ) ت ،
ع1 ع2 = (س1 س2 - ص1 ص2 ) + ( س1 ص2 + س2 ص1) ت
خواص جمع و ضرب الأعداد المركبة
الإبدال : متحقق في حالة الجمع و الضرب
الدمج : متحقق في حالة الجمع و الضرب
المحايد : أ) في حالة الجمع هو الصفر
ب) في حالة الضرب هو الواحد
المعكوس: أ) في حالة الجمع : ع معكوسه = - ع

أي انه إذا كان ع = س + ص ت
فانه - ع = - س - ص ت

الضرب يتوزع على الجمع :
ع1 (ع2+ع3) = ع1 ع2 + ع1 ع3

خواص مرافق العدد:

4) ع1 +ع2 = ع1+ع2
5)ع1 ع2 = ع1 ع2
6) إذا كان ع = س + ص ت جذراً لمعادلة ما بحيث كانت معاملات حدودها
أعداداً حقيقية
فإن ع = س - ص ت جذر آخر لنفس المعادلة
مثال 1:
اكتب في ابسط صورة كل من :

الحل
ت83 = ت 3 = - ت
ت -62 = ت2 = -1
ت -15 = ت
ت12 ن +7 = ت3 = -ت حيث ن ص
مثال 2 :

مثال 3:

مثال 4:


الحل
= 5 + ت
س = 5 + ت ( 1 )


مثال 5:
أوجد قيمة س ،ص  ح
إذا كان س + ص ت =
الحل
س +ص ت =


مثال 6:
إذا كان (أ +ب ت ) ( 1- ت ) = 2 + ت
اثبت أن 2 ( أ3 + ب3 ) = 7
الحل


مثال 7:
إذا كانت مجموعة الحل  كـ
أوجد مجموعة حل المعادلة 2 س2- س + 3 = صفر
الحل
أ =2 ب = -1 جـ = 3


مثال 8:
إذا كانت مجموعة الحل  كـ
أوجد مجموعة حل المعادلة
الحل
بفرض ع = س + ص ت
4(س+ص ت)+7 (س - ص ت) = 8
4س + 4ص ت +7 س - 7 ص ت =8
11 س - 3 ص ت = 8
مثال 9 :

الحل

س + 1 هو عامل للمقدار س3- س2 + 2
و لإيجاد العامل الآخر نستخدم القسمة المطولة

س2 - 2 س + 2 = صفر ، باستخدام القانون العام لحل معادلة الدرجة الثانية
أ=1
ب= -2
جـ = 2





* التمثيل البياني للاعداد المركبة
يمثل العدد المركب ع = س +ص ت نقطه في المستوي حيث :
المحور السيني يمثل الجزء الحقيقي ،
المحور الصادي يمثل الجزء التخيلي


يمثل مقياس العدد المركب ،
= ظا-1 يسمي سعه العدد المركب ،

جتا = ، جا =
ع = ل( جتا + ت جا )
تسمي الصورة المثلثيه للعدد المركب
مثال 10:
اوجد المقياس و السعه الاساسيه لكل من الاعداد المركبه الاتيه

الحل



مثال 11:
اكتب الصورة الجبرية لكل من :
أ) ع = 7(جتا60 + ت جا60 ْ)
ب) ع = 4]جتا(-150 ْ) + ت جا(-150 ْ)[
الحل:
أ ) ع = 7 (جتا 60 + ت جا 60 )


ب ) ع = 4 [ جتا (-150)o + ت جا (-150)o ]
= 4 [جتا 210o + ت جا 210o ]

مثال 12:
اذا كانت ع= ل ( جتا + ت جا )
اوجد كل من - ع في الصورة المثلثية
الحل
- ع = ل ( - جتا - ت جا )
= ل [ جتا (180o + ) + ت جا (180o + ) ]

تذكر أن :
1 - جا( أ  ب ) = جا أ جتا ب  جتا أ جا ب
2 - جتا( أ  ب ) = جتا أ جتا ب  جا أ جا ب
3 - جا 2أ = 2 جا أ جتا أ
4- جتا 2أ = جتا2 أ - جا2 أ
= 2 جتا2 أ - 1
= 1 - 2 جا2 أ


* ( نظريه ديموافر )
إذا كان ن عدداً نسبياً فإن :
(جتا + ت جا )ن =جتا ن + ت جان

مثال 17
اوجد الجذور التكعيبية للعدد المركب ع = 8 ( جتا ط + ت جا ط )
الحل
ع = 8( جتا ط + ت جا ط )

مثال 18 :
استخدم نظرية ديموافر لايجاد الجذور التربيعية للعدد المركب
الحل


مثال 19:
اوجد الجذور التربيعية للعدد المركب 3 + 4 ت بدون تحويلها للصورة المثلثية
الحل
نفرض ان ع2 = 3 + 4 ت
( س + ص ت ) 2 = 3 + 4 ت
( س2 - ص 2 ) + 2 س ص ت = 3 + 4 ت
س2 - ص2 = 3 1
2 س ص = 4 ص = 2
من 2 في 1


س4 - 3 س2 - 4 = صفر
(س2 - 4 ) ( س2+1 )= صفر
س2 = 4 & س2= - 1( مرفوض) لأن مربع العدد الحقيقي لا يكون سالب
س =  2
عندما س = 2 ص = 1
وعندماس = - 2 ص = -1
ع =2 + ت
او ع = - 2 - ت
الجذور التربيعية هي 2 + ت ، - 2 - ت
مثال 20:

الحل

مثال21:
استخدم نظرية ديموافر في ايجاد جتا 2 ، جا 2 بدلالة جتا ، جا
الحل
( جتا +ت جا )2 = ( جتا 2 - جا2 ) + 2 جتا جا ت
= ( جتا 2 ) + ( جا 2 ) ت
جتا 2 = جتا2 - جا2
جا 2 = 2 جا جتا
مثال 22 :
اوجد مجموعة حل المعادلة
( 1+ت) س2 - ( 1+ 3 ت) س + 2 (2 - 3ت ) = صفر
الحل

س2 - ( 2 + ت) س + ( -1 - 5 ت) = صفر





* الصورة الاسية للعدد المركب
اذا كان ع  كـ ، مقياسة = ل ، سعته =
ع = ل ﻫت يسمي الصورة الاسيه للعدد المركب

العمليات علي الاعدادالمركبه في الصورةالاسيه:

حيث م = صفر ، 1 ،2 ……، ن - 1
مثال 23 :

اكتب قي الصورة الأسية

الحل

[ ( 1+ ت )2]7 = (1+2 ت - 1 )7 = (2ت)7

مثال 24 :

الحل:
ل= 2 =

مثال 25:
اذا كان ع = 1+ ت اوجد ع6

بالصورة الأسيه

الحل

مثال 26


الحل:

مثال 27

الحل

مثال 28 :
ضع علي الصورة المثلثية و من ثم اوجد جذوره التربيعية علي الصورة الأسية .
الحل

مثال 29 :
ضع
علي الصورة الأسية ، اوجد جذوره التربيعية في الصورة الأسية ايضا
الحل:


ع = 4 ( جتا 240 5 + ت جا 240 5 ) = 4×
= 2 ( جتا 240 5 + ت جا 240 5 )1/2

حيث ن = صفر ، 1
عندما ن = صفر
= 2( جتا 120 5 + ت جا 120 5 ) = 2 ×
عندما ن = 1
= 2( جتا 300 5 + ت جا 300 5 ) = 2 ×
مثال 30 :

علي الصور الاسية
الحل
ع 1 = ( جتا 30 5 - ت جا 30 5)=(جتا(-30 ْ)+ ت جا(-30 ْ))
ع1 = جتا 330 5 +ت جا 330 5
ع2 = جتا 45 5 + ت جا 45 5
ع1 ع 2 = جتا 15 + ت جا 15


مثال 31 :

علي الصورة الاسيه ، و اوجد جذوره التكعيبية
الحل




* الجذور التكعيبية للواحد الصحيح
اذا كان س3 = 1
اوجد الجذور التكعيبية للواحد الصحيح
الحل
س = = ( جتا صفر + ت جا صفر )1/3
س = جتا + ت جا
حيث ن = صفر ، 1 ، 2

الجذور التكعيبية للواحد الصحيح هى :

خواص الجذور التكعيبية للواحد الصحيح.
2. الجذرين المركبين مترافقين
3. مقياس كل من الجذور الثلاثة هو الواحد
4. مربع أى من الجذرين المركبين يساوى الجذر الأخر
5. 1+ w + w2= صفر
6. 1 × w × w 2 =w3 =1
7. wم = wن حيث ن باقي قسمة "م" علي "3"
8. w - w 2 =  3 ت

مثال 1 :

اثبت ان (1 - w + w 2 ) ( 1 + w - w 2 ) = 4
الحل
الطرف الايمن =( -2 w ) ( -2 w 2 ) = 4 w 3 = 4 × 1 = 4

مثال 2:
اثبت ان
( 1 - w + w 2 ) × ( 1 - w 2 + w 4 ) × ( 1- w 4 + w 8 ) × …..
الي ان 2ن حدا يساوي 2 2ن
الحل
الطرف الايمن = ( -2 w ) ( -2 w 2 ) ( -2 w ) ×…. الي 2 ن حدا
= ( -2 w )ن × ( -2 w2) ن
= ( 4 w 3 )ن = 4ن = ( 22 ) ن = 2 2ن = الطرف الايسر
مثال 3:
اذا كانت

اثبت ان س8 + س4 + 1 = صفر
الحل

بفرض ان س = w
الطرف الايمن = w 8 + w 4 + 1
= w 2 + w +1 = صفر = الطرف الايسر

مثال 4 :
اذا كانت س = أ + ب
، ص = أ w + ب w2
، ع = أ w2 + ب w
اثبت ان
اولا: س ص ع = أ3 + ب3
ثانيا : س2 +ص2 + ع2 = 6 أ ب
الحل
اولا : س ص ع = ( أ + ب ) ( أ w + ب w 2 ) ( أ w 2 + ب w )
= ( أ + ب ) ( أ2 + أ ب w 2 + أ ب w +ب2 )
= ( أ + ب ) (أ2 - أ ب + ب2 ) = أ3 + ب3

ثانيا : س2 + ص2 + ع2 = ( أ +ب)2 + ( أ w +ب w 2 ) 2 + ( أ w2 + ب w)2
= أ2 + 2 أ ب + ب2 + أ2w 2 + 2 أ ب + ب2 w + أ2 w+ 2 أ ب + ب2 w2
س2 + ص2 + ع2 = 6 أ ب + أ2 ( 1 + w 2 + w ) +ب2 ( 1 + w + w 2 )
س2 + ص2 + ع2 = 6 أ ب
مثال 6:

الحل
الطرف الأيمن

مثال 7:

الحل

= (w 2 - w )2 = (  3 ت )2= - 3
مثال 8 :
كون المعادلة التي جذراها
( 1 + w - w 2) 3 ، ( 1 - w + w2 )3
الحل
الجذر الاول = ( 1 + w - w 2)3 = ( - 2 w2 )3 = - 8
الجذر الثاني = ( 1 - w + w2 ) = ( - 2 w )3 = - 8
المعادلة : س2 - (مجموع الجذرين ) س + حاصل ضرب الجذرين = صفر
المعادلة : س2 + 16 س + 64 = صفر
مثال 9 :

الحل
الطرف الايمن = ( 1 + w 2 + ت ) ( 1 + w + ت )
= ( - w + ت ) ( - w 2 + ت )
= 1 - w ت - w 2 ت - 1
= - ت (w + w2 ) = - ت × -1 = ت = الطرف الأيسر
مثال 10 : أثبت أن :
( 2 + 7 w + 2 w 2 ) (2 + 7 w2 + 2 w 4 ) = 25
الحل
الطرف الايمن = ( 7w - 2w ) (7 w2 - 2 w 2 )
= ( 5w ) ( 5w2) = 25w 3 =25= الطرف الايسر
مثال 11 :

الحل

= (-1) 2 + (-1 - w ) + w
= 1 -1 -w + w = صفر = الطرف الايسر



* المقياس و السعة لحاصل ضرب وخارج قسمة عددين مركبين
أولا الضرب
سعه ( ع1 ع2 ) = سعه ( ع1 ) + سعه ( ع2 )
ثانيا القسمة

نتائج : اذا كان ع = ل ( جتا + ت جا )
فان


مثال 13 :
اوجد الصورة المثلثية لكل من ع1 ع2 ، حيث

الحل


مثال 14:
اوجد الصورة المثلثية لكل من ع2 ، حيث

ع = 4 ( جا أ - ت جتا أ )

الحل:
س ح+ ، ص  ح-
ع  الربع الرابع
ع = 4 [جتا ( 270o + أ ) + ت جا (270o + أ ) ]


مثال 15 :

الحل






مثال 16 :
اذا كان ع1 = 13 ( جتا + ت جا )
، ع 2 = جا 2 + ت جا 2

الحل
ع1 = 13( جتا + ت جا )
ع2 = جتا(90o - 2 )+ ت جا ( 90o - 2 )
ع1ع2 = 13[ جتا(90o - ) + ت جا( 90o - )]
= 13 ( جا هـ + ت جتاهـ )



* المحددات
تعريف
المحدد من الدرجة ن، ( مكون من ن صفاً ، ن عموداً ) ينشأ من حذف
( ن - 1) متغير من ن من المعادلات الخطية .

مثال (1) :
اكتب المحدد الذى ينشأ من حذف المتغيرات في كل من المعادلات الاتية
أ) 2س = -6
س + 3 = صفر
الحل
2س = -6
س = -3
م =
ب) س + ص = 3
س - ص = 1
2س + 3ص = 7
الحل
م=



* العوامل المرافقة لعناصر محدد :
إذا اخذنا أى عنصر في المحدد م3 و ليكن أص ع (يقع في الصف رقم ص ، العمود رقم ع ) و حذفنا الصف رقم ص والعمود رقم ع ، فإنه ينشأ محدد مـ ص ع من الدرجة الثانية و عند ضرب هذا المحدد الناتج في
(-1) ص+ع فإن الكمية الناتجة تسمى بالعامل المرافق للعنصر أص ع

مثال (2)
اوجد قيمة كل من المحددات الاتية
أ) ب)
الحل
نفرض قيمة المحدد = ∆
أ) ∆= 2×1 - 5×3 = -13
ب) مـ = باستخدام عناصر الصف الأول

= 22 - (12) + (-69 ) = (-59)
مثال (3)
حل المعادلة
=3 س
الحل
باستخدام عناصر الصف الاول
س ( س2 - 2س ) = 3س
س ( س2 - 2س - 3 ) = صفر
س ( س - 3) ( س + 1) = صفر
س = صفر أو س = 3 أو س = -1
مثال ( 4)
اوجد قيمة ك التى تجعل (س-1) أحد عوامل المحدد الاتى

الحل
س - 1 أحد عوامل المحدد
س = 1 هو جذر للمعادلة الناتجة

باستخدام عناصر الصف الاول
-2 ( ك + 2 - 10 ) - ( 2 ك + 4 - 10 ) - ( 4 - 2 ) = صفر
-2 ( ك - 8 ) - ( 2 ك - 6 ) - 2 = صفر
-2 ك +16 - 2 ك + 6 - 2 = صفر
-4 ك + 20 = صفر ك=5

* خواص المحددات
1- في أى محدد اذا تبدلت الصفوف بالاعمدة و الاعمدة بالصفوف بنفس ترتيبها فإن قيمة المحدد لا تتغير .
2-قيمة المحدد لا تتغير بفكه عن طريق عناصر أحد صفوفه ( أعمدته ) .
3-في اى محدد اذا بدلنا موضعى صفين ( عمودين ) فإن قيمة المحدد الناتج تساوى قيمة المحدد الاصلى مضروباَ فى(-1).
4-اذا تساوت العناصر المتناظرة في اى صفين ( عمودين ) فإن قيمة المحدد تساوى صفراً
5-اذا وجد عامل مشترك في جميع عناصر صف ( عمود ) في محدد فإن هذا العامل يمكن أخذه خارج المحدد .
6-اذا كانت جميع عناصر أى صف ( عمود ) في محدد تساوى صفراً فإن قيمة المحدد تساوى صفراً .
7-في أى محدد اذا كتبت جميع عناصر صف ( عمود ) كمجموع عنصرين فإن قيمة المحدد يمكن كتاباتها كمجموع قيمتى محددين.
8-اذا أضفنا على عناصر أى صف ( عمود ) في محدد مضاعفات أى صف (عمود) أخر فإن قيمة المحدد لا تتغير .
9- في أى محدد اذا ضربنا عناصر صف ( عمود ) في العوامل المرافقة للعناصر المناظرة في صف (عمود ) أخر و جمعنا الناتج فإن النتيجة = صفر
10- قيمة المحدد

تساوى أ11 أ22 أ32 و المحدد بهذه الصورة يسمى بالصورة المثلثة .
مثال (5)
بدون فك المحدد وضح أن كل من المحددات الآتية يساوى صفراً ، مع ذكر الخاصية التى استخدمت في كل حالة .


مثال (6)
بدون فك المحدد

اثبت أن قيمته = (س + 2أ) (س-أ)2
الحل
( ع3 + ع2 ) + ع1 أى بجمع العمود الثالث والثاني على العمود الأول وأخذ الناتج مشترك

ص2 - ص1 ، ص3 - ص1 أى بطرح الصف الأول من كل من الصف الثاني والثالث فإن المحدد = ( س + 2أ)
نفك المحدد باستخدام عناصر العمود الأول
قيمة المحدد =( س + 2أ) (1) (س-أ )2 = ( س+ 2أ) (س-أ)2
مثال (7)
باستخدام خواص المحددات ، اثبت أن

الحل
نفرض أن قيمة المحدد = س
وبأخذ (-1) مشترك من كل صف من الصفوف الثلاثة وتبديل الصفوف مكان الأعمدة بالتركيب

مثال (8)
بدون فكك المحدد أثبت أن
حيث 1، w،ًًw2 هي الجذور التخيلية للوحدة
الحل
الطرف الايمن =
(ع2 + ع3) + ع1
المحدد =
ص1 - ص2
المحدد =
= ( w2 - w )
= ع1 -ع3

المحدد =(w2- w ( (2w + 1)
= 2 + w2 - 2 2w - w
= 2 - w2 - w= 2-(w2+ w (
= 2- (-1) = 2+1 =3

* حل المعادلات الخطية بطريقة كرامر

مثال9
بطريقة كرامر أوجد مجموعة حل المعادلة
2س+3ص=3
3س-2ص=11

مثال 10
بطريقة كرامر اوجد مجموعة الحل للمعادلات
ص= س+2
3ع -2ص =1
س+ع= صفر
الحل
- س +ص =2
- 2 ص +3ع =1
س+ع =صفر
∆ = = ( -1 ) ( -2 ) - 1 × - 3 = 5
∆ س = و بإستخدام عناصر الصف الاخير للفك
∆ س = 1( -4 - 1 ) = - 5
∆ ص = باستخدام عناصر الصف الأول فإن
= -1( 1 -صفر ) - 2 ( صفر - 3 )
= - 1 + 6 = 5
∆ ع = باستخدام عناصر الصف الأخير فإن
∆ ع = 1 ( 1 + 4 ) = 5