سنبدأ سلسلة الشروحات بفرع الإحصاء ..
1- الدرس الاول (( الوسيط ))
الوسيط لمجموعة من الأرقام مرتبة حسب قيمها (في ترتيب تصاعدي أو تنازلي) هي القيمة التي تتوسط البيانات التي تقع في المنتصف أو الوسط الحسابي للقيمتين اللتين تتوسطان البيانات أو تقع في منتصف البيانات، أي تقسمها البيانات إلى قسمين متساويين.
مثال 1 = إذا كان حجم العينة رقم فردي، مجموعة الأرقام 3,4,4,5,6,8,8,8,10 وسيطها هو 6 .
مثال 2 = إذا كان حجم العينة عدد زوجي، مجموعة الأرقام 5,5,7,9,11,12,15,18 وسيطها هو
أما في البيانات المبوبة فإننا نحصل على الوسيط بطريقة الاستكمال ويحسب كالآتي :
(8)......
حيث :
= الحد الأدنى الحقيقي للفئة الوسيطية (أي الفئة التي يقع فيها الوسيط) .
n = عدد العناصر في البيانات (مجموع التكرارات) .
= مجموع التكرارات لجميع الفئات قبل الفئة الوسيطية .
f median = تكرار الفئة الوسيطية .
c = طول الفئة الوسيطية .
ويمكن التعبير هندسياً عن الوسيط بأنه القيمة X على الإحداثي السيني التي إذا رسم عندها عمود رأسي فإنه يقسم المدرج التكراري إلى جزءين متساويين ويعبر عن هذه القيمة أحياناً بــــ
أتمنى لكم الإستفادة و هذه أمثلة مع حلولها على الموضوع :
--------------------------------------------------------------------------
مثال (1) : إذا كان أجر الساعة لخمسة عاملين في مصنع هو 9.20$, 3.75$, 3.96$, 3.28$, 2.52$ أوجد :
(أ) وسيط أجر الساعة .
(ب) الوسط الحسابي لأجر الساعة .
الحل :
9.20$, 3.75$, 3.96$, 3.28$, 2.52$
وبما أن عدد القيم فردي ترتيب الرقم الوسيط = ، فإن هناك قيمة واحدة في المنتصف حيث نأخذ الترتيب رقم (3) وهي 3.75$ وهي الوسيط المطلوب.
ب) الوسط الحسابي هو :
لاحظ أن الوسيط لم يتأثر بالقيمة المتطرفة (9.20$) بينما تأثر بها الوسط الحسابي . وفي هذه الحالة فإن الوسيط يعطي دلالة أفضل على معدل أجر الساعة عن الوسط الحسابي .
----------------------------------------------------------------------------
مثال (2) : يوضح الجدول الآتي أطوال 40 طالباً ، أوجد الطول الوسيط ؟
(أ) وسيط أجر الساعة .
(ب) الوسط الحسابي لأجر الساعة
فئات الطول ،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،، التكرار
118-126 ،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،، 3
127- 135 ،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،، 5
136 - 144 ،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،، 9
145 - 153 ،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،، 12
154 - 162 ،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،، 5
163 - 171 ،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،، 4
172 - 180 ،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،،، 2
المجموع 40
إن الوسيط في هذه الحالة هو الطول الذي يقع نصف التكرار الكلي قبله (20= ) والنصف الآخر بعده .
وحيث أن مجموع تكرارات الفئات الثلاثة الأولى هو 17=9+5+3 وحتى نحصل على الرقم المطلوب 20 فإننا نحتاج إلى 3 أرقام من الــــ 12 حالة الموجودة في الفئة الرابعة .
وبما أن الفئة الرابعة 153 - 145 هي في الحقيقة تقابل الأطوال 144.5 - 153.5 فإن الوسيط يقع في المسافة بين 144.5 و 153.5 أي أن الوسيط هو :
أما الطريقة الثانية :
فباستخدام طريقة الاستدلال الرياضي حسب الصيغة (7) بما أن مجموع التكرارات المقابلة للفئات الثلاث الأولى والفئات الأربع الأولى على الترتيب 17=9+5+29 , 3 =12+9+5+3 فإن الوسيط يقع في الفئة الرابعة والتي هي بالتالي الفئة الوسيطية . وبهذا :
= الحد الأدنى للفئة الوسيطية = 144.5
n (مجموع التكرارات) = حجم العينة = 40
= مجموع التكرارات لجميع الفئات قبل الفئة الوسيطية 17=9+5+3
f median = تكرار الفئة الوسيطية وهو 12.
c = طول الفئة الوسيطية وهو 9.
وبهذا فإن
= الوسيط
الأحد، 31 مايو 2009
الأحد، 24 مايو 2009
التباديل و التوافيق و ذات الحدين
مبدأ العد:
إذا أمكن أجراء حدث ما بطرق عددها "م" ، و أمكن أجراء حدث آخر بطرق عددها "ن"، فانه يمكن أجراء الحدثين معا بطرق عددها "م × ن " .
مثال 1:
طالب يمكنه الذهاب إلى مدرسته بثلاثة طرق و يمكنه العودة إلى منزله بطريقين ،فبكم طريقة يمكنه الذهاب و العودة ؟
الحل
عدد الطرق =3×2=6
مثال 2 :
مدرسه تعطي ثلاثة جوائز في المجال الرياضي للطلاب المتميزين في التنس و السباحة و كرة القدم ، فإذا كان عدد المتنافسين في اللعبات الثلاثة هو 8،7،12 علي الترتيب .أوجد عدد الطرق التي يمكن بها توزيع الجوائز الثلاثة ؟
الحل
عدد الطرق =8×7×12=672
* التباديل
تعريف : إذا كان لدينا مجموعة من العناصر ،فأي ترتيب يأخذ كل أو بعض العناصر في ترتيب معين يسمي تبديله و إذا كان عدد العناصر = ن ، أخذت راء مع مراعاة الترتيب فان عدد التباديل يرمز له بالرمز " نلر " حيث .
قوانين هامة :
1) نلر =ن (ن-1) (ن-2) 000000 (ن-ر+1)
2) نلن =ن(ن-1) (ن-2)0000000 ×3×2×1 = ن
مثال 3:
ما عدد التباديل التي يمكن إيجادها من خمسة أنواع من الفاكهة حيث أن كل منها مكون من نوعين بدون تكرار .
الحل
عدد التباديل= 5ل2 = 5×4= 20
مثال 4:
الحل
عدد الطرق التي يمكن بها الكتابة =5×4×3×2×1= 120
عدد الطرق التي يمكن بها كتابة 4 فى الاحاد، 5 في العشرات =1×1×3×2×1=6
عدد الطرق المطلوبة =120-6=114
الحل
مثال 6
الحل
مثال 7
الحل
مثال 8
الحل
8- ر = 2 ر=6
مثال 9
أوجد عدد عناصر "ى" إذا كان :
ى = }( ا،ب،جـ) ، ا ، ب ، جـ س ، أ ≠ ب≠ جـ{
الحل
ن(س)=9
عدد عناصر"ى" = 9 ل3 = 9×8×7=504
مثال 10:
إذا كان 3 × نل ر-1 = 5× ن-1 ل ر-1 ، ن+1 ل ر =2×ن ل ر . أوجد قيمة كل من "ن" , "ر".
الحل
التوافيق
تعريف: إذا كان لدينا مجموعة من العناصر ،فأي ترتيب بأخذ كل أو بعض العناصر بغض النظر عن الترتيب يسمي توفيقه ، و إذا كان عدد العناصر "ن" ،أخذت راء راء بدون مراعاة الترتيب فأن عدد التوافيق يرمز له بالرمز
قوانين هامة :
نقر = نقن-ر
نقن = 1
ن ق صفر = 1
إذا كان نقر = نقأ فإن ر = أ
أو ر+ أ = ن
مثال 1:
أوجد قيمة ن إذا كان نق2 = 435
الحل
مثال 2:
إذا كان نقر2 +2ر = ن ق2 ر+5 ، نق3 = 120
أوجد قيمة ن ق7 ر+3
الحل
نق3 = 120
10قر2+2ر = 10ق2ر+5
( مرفوض) ( ر + 5 )( ر - 1 ) = صفر
ر = -5 (مرفوض)
ر = 1
نق7ر +3 = 10ق10 = 1
مثال 3:
أثبت أن نقر + نقر+1 = ن+1قر+1
ومن ثم أثبت أن :
ب) نقر+1 + 2× نقر + نقر-1 =ن+2قر+1
الحل
ب) الطرف الأيمن = ( نقر+1 + نقر ) + (نقر + نقر-1 )
= ن+1قر+1 + ن+1قر = ن+2قر+1
= الطرف الأيسر .
مثال 4 :
بكم طريقة يمكن اختيار 7 أشخاص من مجموعة مكونه من 9 بنات ، 5 أولاد بحيث تحتوي علي 3 أولاد ، 4 بنات
الحل
عدد طرق الاختيار = 9ق4 × 5ق3
= 126 ×10 = 1260
مثال 5:
الحل
مثال6:
الحل
مثال 7:
إذا كان مل3 =210 ، م+ن ل3 = 720 أوجد قيمة م ق ن
الحل
مل3 = 210=7ل3 م=7
مثال 8:
الحل
مثال 9:
الحل
مثال 10:
إذا كان 5× نق6 = 12× نق4 أوجد قيمة ن-3ل3
الحل
( ن-5) (ن - 4) = 72 ن2 -9 ن -52 =0
( ن-13 ) ( ن + 4 ) =0
ن = 13 والحل السالب مرفوض
ن-3ل 3 = 10ل3 = 10×9×8= 720
مثال 11:
الحل
مثال 12:
الحل
مثال 13:
الحل
*نظرية ذات الحدين بأس صحيح موجب
(أ +ب)1 = أ +ب
( أ+ ب)2 = أ2 +2أب + ب2
( أ+ ب)3 = أ3 +3أ2 ب +3أب2 + ب3
نظرية
(أ+ب)ن =ن قصفر أن + نق1 ×أن -1 ×ب + نق2 ×أن -2 ×ب2 + ... +نقن ×بن
نتائج
1)(1+ س)ن = 1 +ن ق1 س + نق2 س2 +... سن
2)(1 - س)ن = 1 - ن ق1 س + نق2 س2 +...+(- س)ن
مثال (1)
أوجد مفكوك (أ +ب )4
الحل
( أ+ب)4 = أ4 + 4ق1 أ3 ب + 4ق2 أ2ب2 + 4ق3 أ ب3 + 4ق4 ب4
= أ4 + 4 أ3 ب +6 أ2 ب2 +4 أ ب3 +ب 4
مثال(2)
أوجد مفكوك (1-3س)5
الحل
(1-3س)5 =1-5ق1 ×3س+ 5 ق2 ×(3س)2 - 5ق3 × (3س)3 +5ق4 ×(3س)4- 5ق5 ×(3س)5
= 1-15 س +90 س2 - 270 س3 + 405 س4 - 243 س5
الحد العام في مفكوك (أ +ب)ن
ح ر + 1 = ن ق ر × الثاني)ر × ( الأول)ن -ر(
مثال 3
الحل
مثال 4 :
الحل
معامل حر+1 =ن قر ×( معامل الحد الثاني)ر × (معامل الحد الأول)ن-ر
معامل ح6 = 8ق5 × (-3)5 × (2×1)3
= 56 × -243 ×8 = - 108864
مثال 5:
أوجد معامل الحد الرائي في مفكوك (س + 1)2ن
الحل
ح ر =2ن قر-1 × (1 )ر-1 × (س)2ن+1-ر
مثال 6 :
الحل
المقدار = 2( ح2 + ح4+ ح6+ح8 )
= 2 7ق1× س + 7ق3 × س3 + 7ق5 × س5 + 7ق7 × س7
= 2 7 س + 35 س 3 + 21 س5 + س 7
= 14 س + 70 س3 + 42 س5 + 2 س7
مثال 7 :
بدون استخدام الآلة الحاسبة أوجد قيمه :
(1.01)5 + (0.99 )5 مقربا النتائج لثلاثة أرقام عشرية
الحل
المقدار = ( 1+ 0.01 )5 + (1 - 0.01)5
= 2 ح1 +ح3 + ح5
= 2 1 + 5 ق2 × (0.01)2 + 5 ق4 × (0.01)4
= 2 1 + 10 × (0.01)2 + 5 × ( 0.01)4 [
= 2 + 20 × (0.01 ) 2 + 10 × ( 0.01 )4
= 2.002
الحد الأوسط في مفكوك (س + أ)ن
إذا كان ( ن ) فردي : عدد الحدود = ن+1 (زوجي )
يوجد حدان أوسطان رتبتاهما
2- إذا كان ( ن) زوجي : عدد الحدود = ن+1 (فردي)
يوجد حد أوسط واحد رتبته
مثال 8 :
الحل
ن=10 عدد الحدود =11
ح6 = 10 ق5 × (س-1)5 × (2س2)5
= 10 ق5 × س-5 × 2 5 × س10
= 32 × 10 ق5 × س5
= 8064 س5
مثال 9 :
أوجد الحدين الأوسطين في مفكوك
الحل
ن=7 عدد الحدود = 8
مثال 10 :
إذا كان أ ، ب هما الحدان الأوسطان في مفكوك
حسب قوي س التنازلية .
اثبت أن أ + ب س2 = صفر
الحل
أ = ح8 ، ب = ح9
الطرف الأيمن = أ + ب س2 = ح8 + س2 ح9
مثال 11 :
الحل
الحد الذي يحتوي علي س9 هو ح4
معامل ح4 = 10ق3 × (-1)3 = - ( 10ق3 ) = -120
مثال 12:
الحل
مثال 13
اثبت انه لا يوجد حد خال من س في مفكوك الحل
لا يوجد حد خال من (س) في هذا المفكوك .
مثال 14:
الحل
حر +1 = نقر × (س-1)ر × (س2 )ن -ر
= نقر × س-ر × س2 ن - 2ر
= نقر × س 2ن -3ر
ن يقبل القسمة على 3 [ أي مضاعف للعدد 3]
عند ما ن = 12
ح9 = 12ق8 = 12ق4 = 495
النسبة بين أى حد والحد السابق له مباشر فى مفكوك( س + أ )ن
مثال 15:
إذا كان الحدان الأوسطان في مفكوك (2 س + 3)17
متساويين . أوجد قيمة س
الحل
مثال 16:
ح2 ،ح3 ،ح4 في مفكوك ( س +ص )ن
الحل
مثال 17 :
معاملات ثلاثة حدود متتالية في مفكوك (1 + س )ن هي على الترتيب 20 ،190 ،1140
أوجد قيمة "ن" ، و ترتيب هذه الحدود
الحل
نفرض هذه الحدود ح ر ،ح ر+1 ،ح ر+2
مثال 18:
في مفكوك (1 + س)ن حسب قوى "س" التصاعدية
إذا كان ح4 = ح2 ، و كان ح5 = ح6
أوجد قيمة كل من "ن" ، "س"
الحل
بالضرب في 6
(ن - 2 ) (ن -1 ) س2= 50 (1)
( ن - 4)2 ×س2 = 25 (2)
بقسمة "1" على "2"
2ن2-16ن+32=ن2-3ن+2
ن2 - 13ن + 30 = صفر
( ن - 3 ) ( ن - 10 ) = صفر
ن = 3 مرفوض لأن عدد الحدود سيكون أربعة فقط
مثال 19:
في مفكوك حسب قوى "س" التنازلية
أوجد الحد الخالى من س وإذا كانت النسبة بين الحد الخالى من "س" و الحد السادس هي
أوجد قيمة "س"
الحل
حر+1 = 9ق ر × ( س-1 ) ر × (س2 )9 - ر
= 9ق ر × س - ر × س 18 -2 ر
حر+1 = 9ق ر × س 18 - 3 ر
18 -3ر = صفر ر =6
الحد الخال من "س" هو ح7 =9 ق6 =9 ق3 = 84
حر+1 = 9ق ر × ( س-1 ) ر × (س2 )9 - ر
= 9ق ر × س - ر × س 18 -2 ر
حر+1 = 9ق ر × س 18 - 3 ر
18 -3ر = صفر ر =6
الحد الخال من "س" هو ح7 =9 ق6 =9 ق3 = 84
مثال 20 :
في مفكوك حسب قوي "س" التنازلية
الحل
الحد الذي يحتوي علي س4 هو ح5
ح5 = 12 ق 4 س 4 ، عدد الحدود =12+1=13
الحد الأوسط هو ح7 =
مثال21 :
مساويا للحد الخال من "س" في هذا المفكوك . أوجد قيمة أ
الحل
معامل س16 = 28أ2
لإيجاد الحد الخال من س
24 - 4 ر = صفر ر = 6
ح7 هو الحد الخال من س
ح7 =8 ق6 × أ6 = 8ق2 ×أ6 = 28 أ6
28 أ6 =28 أ2 (÷ 28)
أ2 ( أ4 -1 ) = صفر
أ = 1
مثال22:
أوجد قيمة الحد الخال من "س" في مفكوك
ثم اثبت أن الحدين الاوسطين متساويان عند ما س =
الحل
الحد الخال من "س" هو ح7
ح7 =9 ق6 = 9 ق3 = 84
الحدان الاوسطان هما ح5 ، ح6
= 1
27 س3 =1
س =
مثال 23 :
في مفكوك حسب قوي "س"
التنازلية ، إذا كان الحد الخالى من "س" مساويا لمعامل الحد السابع .
اثبت أن 6 أ ب = 5
الحل
الحد الخال من "س" هو ح6
6 أ ب = 5
الأعداد المركبة
مقدمة:
أوجد حل المعادلة س2 +1 = صفر فى ح
الحل
مجموعة الأعداد المركبة كـ
كـ = }س + ص ت ، س ، ص ح ، ت2 = -1{
و يرمز للعدد المركب بالرمز ع = س +ص ت
س يسمى الجزء الحقيقي ، ص يسمى الجزء التخيل
1] العددان المركبان ع 1 = س1 + ص1 ت ، ع2 = س2 + ص2 ت متساويان إذا كان س1 = س2 ، ص1 = ص2 و العكس صحيح
2] إذا كان ع1 = س1 + ص1 ت ، ع2 = س2 + ص2 ت
فان ع1 + ع2 = (س1 + س2 ) + (ص1 + ص2 ) ت ،
ع1 ع2 = (س1 س2 - ص1 ص2 ) + ( س1 ص2 + س2 ص1) ت
خواص جمع و ضرب الأعداد المركبة
الإبدال : متحقق في حالة الجمع و الضرب
الدمج : متحقق في حالة الجمع و الضرب
المحايد : أ) في حالة الجمع هو الصفر
ب) في حالة الضرب هو الواحد
المعكوس: أ) في حالة الجمع : ع معكوسه = - ع
أي انه إذا كان ع = س + ص ت
فانه - ع = - س - ص ت
الضرب يتوزع على الجمع :
ع1 (ع2+ع3) = ع1 ع2 + ع1 ع3
خواص مرافق العدد:
4) ع1 +ع2 = ع1+ع2
5)ع1 ع2 = ع1 ع2
6) إذا كان ع = س + ص ت جذراً لمعادلة ما بحيث كانت معاملات حدودها
أعداداً حقيقية
فإن ع = س - ص ت جذر آخر لنفس المعادلة
مثال 1:
اكتب في ابسط صورة كل من :
الحل
ت83 = ت 3 = - ت
ت -62 = ت2 = -1
ت -15 = ت
ت12 ن +7 = ت3 = -ت حيث ن ص
مثال 2 :
مثال 3:
مثال 4:
الحل
= 5 + ت
س = 5 + ت ( 1 )
مثال 5:
أوجد قيمة س ،ص ح
إذا كان س + ص ت =
الحل
س +ص ت =
مثال 6:
إذا كان (أ +ب ت ) ( 1- ت ) = 2 + ت
اثبت أن 2 ( أ3 + ب3 ) = 7
الحل
مثال 7:
إذا كانت مجموعة الحل كـ
أوجد مجموعة حل المعادلة 2 س2- س + 3 = صفر
الحل
أ =2 ب = -1 جـ = 3
مثال 8:
إذا كانت مجموعة الحل كـ
أوجد مجموعة حل المعادلة
الحل
بفرض ع = س + ص ت
4(س+ص ت)+7 (س - ص ت) = 8
4س + 4ص ت +7 س - 7 ص ت =8
11 س - 3 ص ت = 8
مثال 9 :
الحل
س + 1 هو عامل للمقدار س3- س2 + 2
و لإيجاد العامل الآخر نستخدم القسمة المطولة
س2 - 2 س + 2 = صفر ، باستخدام القانون العام لحل معادلة الدرجة الثانية
أ=1
ب= -2
جـ = 2
* التمثيل البياني للاعداد المركبة
يمثل العدد المركب ع = س +ص ت نقطه في المستوي حيث :
المحور السيني يمثل الجزء الحقيقي ،
المحور الصادي يمثل الجزء التخيلي
يمثل مقياس العدد المركب ،
= ظا-1 يسمي سعه العدد المركب ،
جتا = ، جا =
ع = ل( جتا + ت جا )
تسمي الصورة المثلثيه للعدد المركب
مثال 10:
اوجد المقياس و السعه الاساسيه لكل من الاعداد المركبه الاتيه
الحل
مثال 11:
اكتب الصورة الجبرية لكل من :
أ) ع = 7(جتا60 + ت جا60 ْ)
ب) ع = 4]جتا(-150 ْ) + ت جا(-150 ْ)[
الحل:
أ ) ع = 7 (جتا 60 + ت جا 60 )
ب ) ع = 4 [ جتا (-150)o + ت جا (-150)o ]
= 4 [جتا 210o + ت جا 210o ]
مثال 12:
اذا كانت ع= ل ( جتا + ت جا )
اوجد كل من - ع في الصورة المثلثية
الحل
- ع = ل ( - جتا - ت جا )
= ل [ جتا (180o + ) + ت جا (180o + ) ]
تذكر أن :
1 - جا( أ ب ) = جا أ جتا ب جتا أ جا ب
2 - جتا( أ ب ) = جتا أ جتا ب جا أ جا ب
3 - جا 2أ = 2 جا أ جتا أ
4- جتا 2أ = جتا2 أ - جا2 أ
= 2 جتا2 أ - 1
= 1 - 2 جا2 أ
* ( نظريه ديموافر )
إذا كان ن عدداً نسبياً فإن :
(جتا + ت جا )ن =جتا ن + ت جان
مثال 17
اوجد الجذور التكعيبية للعدد المركب ع = 8 ( جتا ط + ت جا ط )
الحل
ع = 8( جتا ط + ت جا ط )
مثال 18 :
استخدم نظرية ديموافر لايجاد الجذور التربيعية للعدد المركب
الحل
مثال 19:
اوجد الجذور التربيعية للعدد المركب 3 + 4 ت بدون تحويلها للصورة المثلثية
الحل
نفرض ان ع2 = 3 + 4 ت
( س + ص ت ) 2 = 3 + 4 ت
( س2 - ص 2 ) + 2 س ص ت = 3 + 4 ت
س2 - ص2 = 3 1
2 س ص = 4 ص = 2
من 2 في 1
س4 - 3 س2 - 4 = صفر
(س2 - 4 ) ( س2+1 )= صفر
س2 = 4 & س2= - 1( مرفوض) لأن مربع العدد الحقيقي لا يكون سالب
س = 2
عندما س = 2 ص = 1
وعندماس = - 2 ص = -1
ع =2 + ت
او ع = - 2 - ت
الجذور التربيعية هي 2 + ت ، - 2 - ت
مثال 20:
الحل
مثال21:
استخدم نظرية ديموافر في ايجاد جتا 2 ، جا 2 بدلالة جتا ، جا
الحل
( جتا +ت جا )2 = ( جتا 2 - جا2 ) + 2 جتا جا ت
= ( جتا 2 ) + ( جا 2 ) ت
جتا 2 = جتا2 - جا2
جا 2 = 2 جا جتا
مثال 22 :
اوجد مجموعة حل المعادلة
( 1+ت) س2 - ( 1+ 3 ت) س + 2 (2 - 3ت ) = صفر
الحل
س2 - ( 2 + ت) س + ( -1 - 5 ت) = صفر
* الصورة الاسية للعدد المركب
اذا كان ع كـ ، مقياسة = ل ، سعته =
ع = ل ﻫت يسمي الصورة الاسيه للعدد المركب
العمليات علي الاعدادالمركبه في الصورةالاسيه:
حيث م = صفر ، 1 ،2 ……، ن - 1
مثال 23 :
اكتب قي الصورة الأسية
الحل
[ ( 1+ ت )2]7 = (1+2 ت - 1 )7 = (2ت)7
مثال 24 :
الحل:
ل= 2 =
مثال 25:
اذا كان ع = 1+ ت اوجد ع6
بالصورة الأسيه
الحل
مثال 26
الحل:
مثال 27
الحل
مثال 28 :
ضع علي الصورة المثلثية و من ثم اوجد جذوره التربيعية علي الصورة الأسية .
الحل
مثال 29 :
ضع
علي الصورة الأسية ، اوجد جذوره التربيعية في الصورة الأسية ايضا
الحل:
ع = 4 ( جتا 240 5 + ت جا 240 5 ) = 4×
= 2 ( جتا 240 5 + ت جا 240 5 )1/2
حيث ن = صفر ، 1
عندما ن = صفر
= 2( جتا 120 5 + ت جا 120 5 ) = 2 ×
عندما ن = 1
= 2( جتا 300 5 + ت جا 300 5 ) = 2 ×
مثال 30 :
علي الصور الاسية
الحل
ع 1 = ( جتا 30 5 - ت جا 30 5)=(جتا(-30 ْ)+ ت جا(-30 ْ))
ع1 = جتا 330 5 +ت جا 330 5
ع2 = جتا 45 5 + ت جا 45 5
ع1 ع 2 = جتا 15 + ت جا 15
مثال 31 :
علي الصورة الاسيه ، و اوجد جذوره التكعيبية
الحل
* الجذور التكعيبية للواحد الصحيح
اذا كان س3 = 1
اوجد الجذور التكعيبية للواحد الصحيح
الحل
س = = ( جتا صفر + ت جا صفر )1/3
س = جتا + ت جا
حيث ن = صفر ، 1 ، 2
الجذور التكعيبية للواحد الصحيح هى :
خواص الجذور التكعيبية للواحد الصحيح.
2. الجذرين المركبين مترافقين
3. مقياس كل من الجذور الثلاثة هو الواحد
4. مربع أى من الجذرين المركبين يساوى الجذر الأخر
5. 1+ w + w2= صفر
6. 1 × w × w 2 =w3 =1
7. wم = wن حيث ن باقي قسمة "م" علي "3"
8. w - w 2 = 3 ت
مثال 1 :
اثبت ان (1 - w + w 2 ) ( 1 + w - w 2 ) = 4
الحل
الطرف الايمن =( -2 w ) ( -2 w 2 ) = 4 w 3 = 4 × 1 = 4
مثال 2:
اثبت ان
( 1 - w + w 2 ) × ( 1 - w 2 + w 4 ) × ( 1- w 4 + w 8 ) × …..
الي ان 2ن حدا يساوي 2 2ن
الحل
الطرف الايمن = ( -2 w ) ( -2 w 2 ) ( -2 w ) ×…. الي 2 ن حدا
= ( -2 w )ن × ( -2 w2) ن
= ( 4 w 3 )ن = 4ن = ( 22 ) ن = 2 2ن = الطرف الايسر
مثال 3:
اذا كانت
اثبت ان س8 + س4 + 1 = صفر
الحل
بفرض ان س = w
الطرف الايمن = w 8 + w 4 + 1
= w 2 + w +1 = صفر = الطرف الايسر
مثال 4 :
اذا كانت س = أ + ب
، ص = أ w + ب w2
، ع = أ w2 + ب w
اثبت ان
اولا: س ص ع = أ3 + ب3
ثانيا : س2 +ص2 + ع2 = 6 أ ب
الحل
اولا : س ص ع = ( أ + ب ) ( أ w + ب w 2 ) ( أ w 2 + ب w )
= ( أ + ب ) ( أ2 + أ ب w 2 + أ ب w +ب2 )
= ( أ + ب ) (أ2 - أ ب + ب2 ) = أ3 + ب3
ثانيا : س2 + ص2 + ع2 = ( أ +ب)2 + ( أ w +ب w 2 ) 2 + ( أ w2 + ب w)2
= أ2 + 2 أ ب + ب2 + أ2w 2 + 2 أ ب + ب2 w + أ2 w+ 2 أ ب + ب2 w2
س2 + ص2 + ع2 = 6 أ ب + أ2 ( 1 + w 2 + w ) +ب2 ( 1 + w + w 2 )
س2 + ص2 + ع2 = 6 أ ب
مثال 6:
الحل
الطرف الأيمن
مثال 7:
الحل
= (w 2 - w )2 = ( 3 ت )2= - 3
مثال 8 :
كون المعادلة التي جذراها
( 1 + w - w 2) 3 ، ( 1 - w + w2 )3
الحل
الجذر الاول = ( 1 + w - w 2)3 = ( - 2 w2 )3 = - 8
الجذر الثاني = ( 1 - w + w2 ) = ( - 2 w )3 = - 8
المعادلة : س2 - (مجموع الجذرين ) س + حاصل ضرب الجذرين = صفر
المعادلة : س2 + 16 س + 64 = صفر
مثال 9 :
الحل
الطرف الايمن = ( 1 + w 2 + ت ) ( 1 + w + ت )
= ( - w + ت ) ( - w 2 + ت )
= 1 - w ت - w 2 ت - 1
= - ت (w + w2 ) = - ت × -1 = ت = الطرف الأيسر
مثال 10 : أثبت أن :
( 2 + 7 w + 2 w 2 ) (2 + 7 w2 + 2 w 4 ) = 25
الحل
الطرف الايمن = ( 7w - 2w ) (7 w2 - 2 w 2 )
= ( 5w ) ( 5w2) = 25w 3 =25= الطرف الايسر
مثال 11 :
الحل
= (-1) 2 + (-1 - w ) + w
= 1 -1 -w + w = صفر = الطرف الايسر
* المقياس و السعة لحاصل ضرب وخارج قسمة عددين مركبين
أولا الضرب
سعه ( ع1 ع2 ) = سعه ( ع1 ) + سعه ( ع2 )
ثانيا القسمة
نتائج : اذا كان ع = ل ( جتا + ت جا )
فان
مثال 13 :
اوجد الصورة المثلثية لكل من ع1 ع2 ، حيث
الحل
مثال 14:
اوجد الصورة المثلثية لكل من ع2 ، حيث
ع = 4 ( جا أ - ت جتا أ )
الحل:
س ح+ ، ص ح-
ع الربع الرابع
ع = 4 [جتا ( 270o + أ ) + ت جا (270o + أ ) ]
مثال 15 :
الحل
مثال 16 :
اذا كان ع1 = 13 ( جتا + ت جا )
، ع 2 = جا 2 + ت جا 2
الحل
ع1 = 13( جتا + ت جا )
ع2 = جتا(90o - 2 )+ ت جا ( 90o - 2 )
ع1ع2 = 13[ جتا(90o - ) + ت جا( 90o - )]
= 13 ( جا هـ + ت جتاهـ )
* المحددات
تعريف
المحدد من الدرجة ن، ( مكون من ن صفاً ، ن عموداً ) ينشأ من حذف
( ن - 1) متغير من ن من المعادلات الخطية .
مثال (1) :
اكتب المحدد الذى ينشأ من حذف المتغيرات في كل من المعادلات الاتية
أ) 2س = -6
س + 3 = صفر
الحل
2س = -6
س = -3
م =
ب) س + ص = 3
س - ص = 1
2س + 3ص = 7
الحل
م=
* العوامل المرافقة لعناصر محدد :
إذا اخذنا أى عنصر في المحدد م3 و ليكن أص ع (يقع في الصف رقم ص ، العمود رقم ع ) و حذفنا الصف رقم ص والعمود رقم ع ، فإنه ينشأ محدد مـ ص ع من الدرجة الثانية و عند ضرب هذا المحدد الناتج في
(-1) ص+ع فإن الكمية الناتجة تسمى بالعامل المرافق للعنصر أص ع
مثال (2)
اوجد قيمة كل من المحددات الاتية
أ) ب)
الحل
نفرض قيمة المحدد = ∆
أ) ∆= 2×1 - 5×3 = -13
ب) مـ = باستخدام عناصر الصف الأول
= 22 - (12) + (-69 ) = (-59)
مثال (3)
حل المعادلة
=3 س
الحل
باستخدام عناصر الصف الاول
س ( س2 - 2س ) = 3س
س ( س2 - 2س - 3 ) = صفر
س ( س - 3) ( س + 1) = صفر
س = صفر أو س = 3 أو س = -1
مثال ( 4)
اوجد قيمة ك التى تجعل (س-1) أحد عوامل المحدد الاتى
الحل
س - 1 أحد عوامل المحدد
س = 1 هو جذر للمعادلة الناتجة
باستخدام عناصر الصف الاول
-2 ( ك + 2 - 10 ) - ( 2 ك + 4 - 10 ) - ( 4 - 2 ) = صفر
-2 ( ك - 8 ) - ( 2 ك - 6 ) - 2 = صفر
-2 ك +16 - 2 ك + 6 - 2 = صفر
-4 ك + 20 = صفر ك=5
* خواص المحددات
1- في أى محدد اذا تبدلت الصفوف بالاعمدة و الاعمدة بالصفوف بنفس ترتيبها فإن قيمة المحدد لا تتغير .
2-قيمة المحدد لا تتغير بفكه عن طريق عناصر أحد صفوفه ( أعمدته ) .
3-في اى محدد اذا بدلنا موضعى صفين ( عمودين ) فإن قيمة المحدد الناتج تساوى قيمة المحدد الاصلى مضروباَ فى(-1).
4-اذا تساوت العناصر المتناظرة في اى صفين ( عمودين ) فإن قيمة المحدد تساوى صفراً
5-اذا وجد عامل مشترك في جميع عناصر صف ( عمود ) في محدد فإن هذا العامل يمكن أخذه خارج المحدد .
6-اذا كانت جميع عناصر أى صف ( عمود ) في محدد تساوى صفراً فإن قيمة المحدد تساوى صفراً .
7-في أى محدد اذا كتبت جميع عناصر صف ( عمود ) كمجموع عنصرين فإن قيمة المحدد يمكن كتاباتها كمجموع قيمتى محددين.
8-اذا أضفنا على عناصر أى صف ( عمود ) في محدد مضاعفات أى صف (عمود) أخر فإن قيمة المحدد لا تتغير .
9- في أى محدد اذا ضربنا عناصر صف ( عمود ) في العوامل المرافقة للعناصر المناظرة في صف (عمود ) أخر و جمعنا الناتج فإن النتيجة = صفر
10- قيمة المحدد
تساوى أ11 أ22 أ32 و المحدد بهذه الصورة يسمى بالصورة المثلثة .
مثال (5)
بدون فك المحدد وضح أن كل من المحددات الآتية يساوى صفراً ، مع ذكر الخاصية التى استخدمت في كل حالة .
مثال (6)
بدون فك المحدد
اثبت أن قيمته = (س + 2أ) (س-أ)2
الحل
( ع3 + ع2 ) + ع1 أى بجمع العمود الثالث والثاني على العمود الأول وأخذ الناتج مشترك
ص2 - ص1 ، ص3 - ص1 أى بطرح الصف الأول من كل من الصف الثاني والثالث فإن المحدد = ( س + 2أ)
نفك المحدد باستخدام عناصر العمود الأول
قيمة المحدد =( س + 2أ) (1) (س-أ )2 = ( س+ 2أ) (س-أ)2
مثال (7)
باستخدام خواص المحددات ، اثبت أن
الحل
نفرض أن قيمة المحدد = س
وبأخذ (-1) مشترك من كل صف من الصفوف الثلاثة وتبديل الصفوف مكان الأعمدة بالتركيب
مثال (8)
بدون فكك المحدد أثبت أن
حيث 1، w،ًًw2 هي الجذور التخيلية للوحدة
الحل
الطرف الايمن =
(ع2 + ع3) + ع1
المحدد =
ص1 - ص2
المحدد =
= ( w2 - w )
= ع1 -ع3
المحدد =(w2- w ( (2w + 1)
= 2 + w2 - 2 2w - w
= 2 - w2 - w= 2-(w2+ w (
= 2- (-1) = 2+1 =3
* حل المعادلات الخطية بطريقة كرامر
مثال9
بطريقة كرامر أوجد مجموعة حل المعادلة
2س+3ص=3
3س-2ص=11
مثال 10
بطريقة كرامر اوجد مجموعة الحل للمعادلات
ص= س+2
3ع -2ص =1
س+ع= صفر
الحل
- س +ص =2
- 2 ص +3ع =1
س+ع =صفر
∆ = = ( -1 ) ( -2 ) - 1 × - 3 = 5
∆ س = و بإستخدام عناصر الصف الاخير للفك
∆ س = 1( -4 - 1 ) = - 5
∆ ص = باستخدام عناصر الصف الأول فإن
= -1( 1 -صفر ) - 2 ( صفر - 3 )
= - 1 + 6 = 5
∆ ع = باستخدام عناصر الصف الأخير فإن
∆ ع = 1 ( 1 + 4 ) = 5
مبدأ العد:
إذا أمكن أجراء حدث ما بطرق عددها "م" ، و أمكن أجراء حدث آخر بطرق عددها "ن"، فانه يمكن أجراء الحدثين معا بطرق عددها "م × ن " .
مثال 1:
طالب يمكنه الذهاب إلى مدرسته بثلاثة طرق و يمكنه العودة إلى منزله بطريقين ،فبكم طريقة يمكنه الذهاب و العودة ؟
الحل
عدد الطرق =3×2=6
مثال 2 :
مدرسه تعطي ثلاثة جوائز في المجال الرياضي للطلاب المتميزين في التنس و السباحة و كرة القدم ، فإذا كان عدد المتنافسين في اللعبات الثلاثة هو 8،7،12 علي الترتيب .أوجد عدد الطرق التي يمكن بها توزيع الجوائز الثلاثة ؟
الحل
عدد الطرق =8×7×12=672
* التباديل
تعريف : إذا كان لدينا مجموعة من العناصر ،فأي ترتيب يأخذ كل أو بعض العناصر في ترتيب معين يسمي تبديله و إذا كان عدد العناصر = ن ، أخذت راء مع مراعاة الترتيب فان عدد التباديل يرمز له بالرمز " نلر " حيث .
قوانين هامة :
1) نلر =ن (ن-1) (ن-2) 000000 (ن-ر+1)
2) نلن =ن(ن-1) (ن-2)0000000 ×3×2×1 = ن
مثال 3:
ما عدد التباديل التي يمكن إيجادها من خمسة أنواع من الفاكهة حيث أن كل منها مكون من نوعين بدون تكرار .
الحل
عدد التباديل= 5ل2 = 5×4= 20
مثال 4:
الحل
عدد الطرق التي يمكن بها الكتابة =5×4×3×2×1= 120
عدد الطرق التي يمكن بها كتابة 4 فى الاحاد، 5 في العشرات =1×1×3×2×1=6
عدد الطرق المطلوبة =120-6=114
الحل
مثال 6
الحل
مثال 7
الحل
مثال 8
الحل
8- ر = 2 ر=6
مثال 9
أوجد عدد عناصر "ى" إذا كان :
ى = }( ا،ب،جـ) ، ا ، ب ، جـ س ، أ ≠ ب≠ جـ{
الحل
ن(س)=9
عدد عناصر"ى" = 9 ل3 = 9×8×7=504
مثال 10:
إذا كان 3 × نل ر-1 = 5× ن-1 ل ر-1 ، ن+1 ل ر =2×ن ل ر . أوجد قيمة كل من "ن" , "ر".
الحل
التوافيق
تعريف: إذا كان لدينا مجموعة من العناصر ،فأي ترتيب بأخذ كل أو بعض العناصر بغض النظر عن الترتيب يسمي توفيقه ، و إذا كان عدد العناصر "ن" ،أخذت راء راء بدون مراعاة الترتيب فأن عدد التوافيق يرمز له بالرمز
قوانين هامة :
نقر = نقن-ر
نقن = 1
ن ق صفر = 1
إذا كان نقر = نقأ فإن ر = أ
أو ر+ أ = ن
مثال 1:
أوجد قيمة ن إذا كان نق2 = 435
الحل
مثال 2:
إذا كان نقر2 +2ر = ن ق2 ر+5 ، نق3 = 120
أوجد قيمة ن ق7 ر+3
الحل
نق3 = 120
10قر2+2ر = 10ق2ر+5
( مرفوض) ( ر + 5 )( ر - 1 ) = صفر
ر = -5 (مرفوض)
ر = 1
نق7ر +3 = 10ق10 = 1
مثال 3:
أثبت أن نقر + نقر+1 = ن+1قر+1
ومن ثم أثبت أن :
ب) نقر+1 + 2× نقر + نقر-1 =ن+2قر+1
الحل
ب) الطرف الأيمن = ( نقر+1 + نقر ) + (نقر + نقر-1 )
= ن+1قر+1 + ن+1قر = ن+2قر+1
= الطرف الأيسر .
مثال 4 :
بكم طريقة يمكن اختيار 7 أشخاص من مجموعة مكونه من 9 بنات ، 5 أولاد بحيث تحتوي علي 3 أولاد ، 4 بنات
الحل
عدد طرق الاختيار = 9ق4 × 5ق3
= 126 ×10 = 1260
مثال 5:
الحل
مثال6:
الحل
مثال 7:
إذا كان مل3 =210 ، م+ن ل3 = 720 أوجد قيمة م ق ن
الحل
مل3 = 210=7ل3 م=7
مثال 8:
الحل
مثال 9:
الحل
مثال 10:
إذا كان 5× نق6 = 12× نق4 أوجد قيمة ن-3ل3
الحل
( ن-5) (ن - 4) = 72 ن2 -9 ن -52 =0
( ن-13 ) ( ن + 4 ) =0
ن = 13 والحل السالب مرفوض
ن-3ل 3 = 10ل3 = 10×9×8= 720
مثال 11:
الحل
مثال 12:
الحل
مثال 13:
الحل
*نظرية ذات الحدين بأس صحيح موجب
(أ +ب)1 = أ +ب
( أ+ ب)2 = أ2 +2أب + ب2
( أ+ ب)3 = أ3 +3أ2 ب +3أب2 + ب3
نظرية
(أ+ب)ن =ن قصفر أن + نق1 ×أن -1 ×ب + نق2 ×أن -2 ×ب2 + ... +نقن ×بن
نتائج
1)(1+ س)ن = 1 +ن ق1 س + نق2 س2 +... سن
2)(1 - س)ن = 1 - ن ق1 س + نق2 س2 +...+(- س)ن
مثال (1)
أوجد مفكوك (أ +ب )4
الحل
( أ+ب)4 = أ4 + 4ق1 أ3 ب + 4ق2 أ2ب2 + 4ق3 أ ب3 + 4ق4 ب4
= أ4 + 4 أ3 ب +6 أ2 ب2 +4 أ ب3 +ب 4
مثال(2)
أوجد مفكوك (1-3س)5
الحل
(1-3س)5 =1-5ق1 ×3س+ 5 ق2 ×(3س)2 - 5ق3 × (3س)3 +5ق4 ×(3س)4- 5ق5 ×(3س)5
= 1-15 س +90 س2 - 270 س3 + 405 س4 - 243 س5
الحد العام في مفكوك (أ +ب)ن
ح ر + 1 = ن ق ر × الثاني)ر × ( الأول)ن -ر(
مثال 3
الحل
مثال 4 :
الحل
معامل حر+1 =ن قر ×( معامل الحد الثاني)ر × (معامل الحد الأول)ن-ر
معامل ح6 = 8ق5 × (-3)5 × (2×1)3
= 56 × -243 ×8 = - 108864
مثال 5:
أوجد معامل الحد الرائي في مفكوك (س + 1)2ن
الحل
ح ر =2ن قر-1 × (1 )ر-1 × (س)2ن+1-ر
مثال 6 :
الحل
المقدار = 2( ح2 + ح4+ ح6+ح8 )
= 2 7ق1× س + 7ق3 × س3 + 7ق5 × س5 + 7ق7 × س7
= 2 7 س + 35 س 3 + 21 س5 + س 7
= 14 س + 70 س3 + 42 س5 + 2 س7
مثال 7 :
بدون استخدام الآلة الحاسبة أوجد قيمه :
(1.01)5 + (0.99 )5 مقربا النتائج لثلاثة أرقام عشرية
الحل
المقدار = ( 1+ 0.01 )5 + (1 - 0.01)5
= 2 ح1 +ح3 + ح5
= 2 1 + 5 ق2 × (0.01)2 + 5 ق4 × (0.01)4
= 2 1 + 10 × (0.01)2 + 5 × ( 0.01)4 [
= 2 + 20 × (0.01 ) 2 + 10 × ( 0.01 )4
= 2.002
الحد الأوسط في مفكوك (س + أ)ن
إذا كان ( ن ) فردي : عدد الحدود = ن+1 (زوجي )
يوجد حدان أوسطان رتبتاهما
2- إذا كان ( ن) زوجي : عدد الحدود = ن+1 (فردي)
يوجد حد أوسط واحد رتبته
مثال 8 :
الحل
ن=10 عدد الحدود =11
ح6 = 10 ق5 × (س-1)5 × (2س2)5
= 10 ق5 × س-5 × 2 5 × س10
= 32 × 10 ق5 × س5
= 8064 س5
مثال 9 :
أوجد الحدين الأوسطين في مفكوك
الحل
ن=7 عدد الحدود = 8
مثال 10 :
إذا كان أ ، ب هما الحدان الأوسطان في مفكوك
حسب قوي س التنازلية .
اثبت أن أ + ب س2 = صفر
الحل
أ = ح8 ، ب = ح9
الطرف الأيمن = أ + ب س2 = ح8 + س2 ح9
مثال 11 :
الحل
الحد الذي يحتوي علي س9 هو ح4
معامل ح4 = 10ق3 × (-1)3 = - ( 10ق3 ) = -120
مثال 12:
الحل
مثال 13
اثبت انه لا يوجد حد خال من س في مفكوك الحل
لا يوجد حد خال من (س) في هذا المفكوك .
مثال 14:
الحل
حر +1 = نقر × (س-1)ر × (س2 )ن -ر
= نقر × س-ر × س2 ن - 2ر
= نقر × س 2ن -3ر
ن يقبل القسمة على 3 [ أي مضاعف للعدد 3]
عند ما ن = 12
ح9 = 12ق8 = 12ق4 = 495
النسبة بين أى حد والحد السابق له مباشر فى مفكوك( س + أ )ن
مثال 15:
إذا كان الحدان الأوسطان في مفكوك (2 س + 3)17
متساويين . أوجد قيمة س
الحل
مثال 16:
ح2 ،ح3 ،ح4 في مفكوك ( س +ص )ن
الحل
مثال 17 :
معاملات ثلاثة حدود متتالية في مفكوك (1 + س )ن هي على الترتيب 20 ،190 ،1140
أوجد قيمة "ن" ، و ترتيب هذه الحدود
الحل
نفرض هذه الحدود ح ر ،ح ر+1 ،ح ر+2
مثال 18:
في مفكوك (1 + س)ن حسب قوى "س" التصاعدية
إذا كان ح4 = ح2 ، و كان ح5 = ح6
أوجد قيمة كل من "ن" ، "س"
الحل
بالضرب في 6
(ن - 2 ) (ن -1 ) س2= 50 (1)
( ن - 4)2 ×س2 = 25 (2)
بقسمة "1" على "2"
2ن2-16ن+32=ن2-3ن+2
ن2 - 13ن + 30 = صفر
( ن - 3 ) ( ن - 10 ) = صفر
ن = 3 مرفوض لأن عدد الحدود سيكون أربعة فقط
مثال 19:
في مفكوك حسب قوى "س" التنازلية
أوجد الحد الخالى من س وإذا كانت النسبة بين الحد الخالى من "س" و الحد السادس هي
أوجد قيمة "س"
الحل
حر+1 = 9ق ر × ( س-1 ) ر × (س2 )9 - ر
= 9ق ر × س - ر × س 18 -2 ر
حر+1 = 9ق ر × س 18 - 3 ر
18 -3ر = صفر ر =6
الحد الخال من "س" هو ح7 =9 ق6 =9 ق3 = 84
حر+1 = 9ق ر × ( س-1 ) ر × (س2 )9 - ر
= 9ق ر × س - ر × س 18 -2 ر
حر+1 = 9ق ر × س 18 - 3 ر
18 -3ر = صفر ر =6
الحد الخال من "س" هو ح7 =9 ق6 =9 ق3 = 84
مثال 20 :
في مفكوك حسب قوي "س" التنازلية
الحل
الحد الذي يحتوي علي س4 هو ح5
ح5 = 12 ق 4 س 4 ، عدد الحدود =12+1=13
الحد الأوسط هو ح7 =
مثال21 :
مساويا للحد الخال من "س" في هذا المفكوك . أوجد قيمة أ
الحل
معامل س16 = 28أ2
لإيجاد الحد الخال من س
24 - 4 ر = صفر ر = 6
ح7 هو الحد الخال من س
ح7 =8 ق6 × أ6 = 8ق2 ×أ6 = 28 أ6
28 أ6 =28 أ2 (÷ 28)
أ2 ( أ4 -1 ) = صفر
أ = 1
مثال22:
أوجد قيمة الحد الخال من "س" في مفكوك
ثم اثبت أن الحدين الاوسطين متساويان عند ما س =
الحل
الحد الخال من "س" هو ح7
ح7 =9 ق6 = 9 ق3 = 84
الحدان الاوسطان هما ح5 ، ح6
= 1
27 س3 =1
س =
مثال 23 :
في مفكوك حسب قوي "س"
التنازلية ، إذا كان الحد الخالى من "س" مساويا لمعامل الحد السابع .
اثبت أن 6 أ ب = 5
الحل
الحد الخال من "س" هو ح6
6 أ ب = 5
الأعداد المركبة
مقدمة:
أوجد حل المعادلة س2 +1 = صفر فى ح
الحل
مجموعة الأعداد المركبة كـ
كـ = }س + ص ت ، س ، ص ح ، ت2 = -1{
و يرمز للعدد المركب بالرمز ع = س +ص ت
س يسمى الجزء الحقيقي ، ص يسمى الجزء التخيل
1] العددان المركبان ع 1 = س1 + ص1 ت ، ع2 = س2 + ص2 ت متساويان إذا كان س1 = س2 ، ص1 = ص2 و العكس صحيح
2] إذا كان ع1 = س1 + ص1 ت ، ع2 = س2 + ص2 ت
فان ع1 + ع2 = (س1 + س2 ) + (ص1 + ص2 ) ت ،
ع1 ع2 = (س1 س2 - ص1 ص2 ) + ( س1 ص2 + س2 ص1) ت
خواص جمع و ضرب الأعداد المركبة
الإبدال : متحقق في حالة الجمع و الضرب
الدمج : متحقق في حالة الجمع و الضرب
المحايد : أ) في حالة الجمع هو الصفر
ب) في حالة الضرب هو الواحد
المعكوس: أ) في حالة الجمع : ع معكوسه = - ع
أي انه إذا كان ع = س + ص ت
فانه - ع = - س - ص ت
الضرب يتوزع على الجمع :
ع1 (ع2+ع3) = ع1 ع2 + ع1 ع3
خواص مرافق العدد:
4) ع1 +ع2 = ع1+ع2
5)ع1 ع2 = ع1 ع2
6) إذا كان ع = س + ص ت جذراً لمعادلة ما بحيث كانت معاملات حدودها
أعداداً حقيقية
فإن ع = س - ص ت جذر آخر لنفس المعادلة
مثال 1:
اكتب في ابسط صورة كل من :
الحل
ت83 = ت 3 = - ت
ت -62 = ت2 = -1
ت -15 = ت
ت12 ن +7 = ت3 = -ت حيث ن ص
مثال 2 :
مثال 3:
مثال 4:
الحل
= 5 + ت
س = 5 + ت ( 1 )
مثال 5:
أوجد قيمة س ،ص ح
إذا كان س + ص ت =
الحل
س +ص ت =
مثال 6:
إذا كان (أ +ب ت ) ( 1- ت ) = 2 + ت
اثبت أن 2 ( أ3 + ب3 ) = 7
الحل
مثال 7:
إذا كانت مجموعة الحل كـ
أوجد مجموعة حل المعادلة 2 س2- س + 3 = صفر
الحل
أ =2 ب = -1 جـ = 3
مثال 8:
إذا كانت مجموعة الحل كـ
أوجد مجموعة حل المعادلة
الحل
بفرض ع = س + ص ت
4(س+ص ت)+7 (س - ص ت) = 8
4س + 4ص ت +7 س - 7 ص ت =8
11 س - 3 ص ت = 8
مثال 9 :
الحل
س + 1 هو عامل للمقدار س3- س2 + 2
و لإيجاد العامل الآخر نستخدم القسمة المطولة
س2 - 2 س + 2 = صفر ، باستخدام القانون العام لحل معادلة الدرجة الثانية
أ=1
ب= -2
جـ = 2
* التمثيل البياني للاعداد المركبة
يمثل العدد المركب ع = س +ص ت نقطه في المستوي حيث :
المحور السيني يمثل الجزء الحقيقي ،
المحور الصادي يمثل الجزء التخيلي
يمثل مقياس العدد المركب ،
= ظا-1 يسمي سعه العدد المركب ،
جتا = ، جا =
ع = ل( جتا + ت جا )
تسمي الصورة المثلثيه للعدد المركب
مثال 10:
اوجد المقياس و السعه الاساسيه لكل من الاعداد المركبه الاتيه
الحل
مثال 11:
اكتب الصورة الجبرية لكل من :
أ) ع = 7(جتا60 + ت جا60 ْ)
ب) ع = 4]جتا(-150 ْ) + ت جا(-150 ْ)[
الحل:
أ ) ع = 7 (جتا 60 + ت جا 60 )
ب ) ع = 4 [ جتا (-150)o + ت جا (-150)o ]
= 4 [جتا 210o + ت جا 210o ]
مثال 12:
اذا كانت ع= ل ( جتا + ت جا )
اوجد كل من - ع في الصورة المثلثية
الحل
- ع = ل ( - جتا - ت جا )
= ل [ جتا (180o + ) + ت جا (180o + ) ]
تذكر أن :
1 - جا( أ ب ) = جا أ جتا ب جتا أ جا ب
2 - جتا( أ ب ) = جتا أ جتا ب جا أ جا ب
3 - جا 2أ = 2 جا أ جتا أ
4- جتا 2أ = جتا2 أ - جا2 أ
= 2 جتا2 أ - 1
= 1 - 2 جا2 أ
* ( نظريه ديموافر )
إذا كان ن عدداً نسبياً فإن :
(جتا + ت جا )ن =جتا ن + ت جان
مثال 17
اوجد الجذور التكعيبية للعدد المركب ع = 8 ( جتا ط + ت جا ط )
الحل
ع = 8( جتا ط + ت جا ط )
مثال 18 :
استخدم نظرية ديموافر لايجاد الجذور التربيعية للعدد المركب
الحل
مثال 19:
اوجد الجذور التربيعية للعدد المركب 3 + 4 ت بدون تحويلها للصورة المثلثية
الحل
نفرض ان ع2 = 3 + 4 ت
( س + ص ت ) 2 = 3 + 4 ت
( س2 - ص 2 ) + 2 س ص ت = 3 + 4 ت
س2 - ص2 = 3 1
2 س ص = 4 ص = 2
من 2 في 1
س4 - 3 س2 - 4 = صفر
(س2 - 4 ) ( س2+1 )= صفر
س2 = 4 & س2= - 1( مرفوض) لأن مربع العدد الحقيقي لا يكون سالب
س = 2
عندما س = 2 ص = 1
وعندماس = - 2 ص = -1
ع =2 + ت
او ع = - 2 - ت
الجذور التربيعية هي 2 + ت ، - 2 - ت
مثال 20:
الحل
مثال21:
استخدم نظرية ديموافر في ايجاد جتا 2 ، جا 2 بدلالة جتا ، جا
الحل
( جتا +ت جا )2 = ( جتا 2 - جا2 ) + 2 جتا جا ت
= ( جتا 2 ) + ( جا 2 ) ت
جتا 2 = جتا2 - جا2
جا 2 = 2 جا جتا
مثال 22 :
اوجد مجموعة حل المعادلة
( 1+ت) س2 - ( 1+ 3 ت) س + 2 (2 - 3ت ) = صفر
الحل
س2 - ( 2 + ت) س + ( -1 - 5 ت) = صفر
* الصورة الاسية للعدد المركب
اذا كان ع كـ ، مقياسة = ل ، سعته =
ع = ل ﻫت يسمي الصورة الاسيه للعدد المركب
العمليات علي الاعدادالمركبه في الصورةالاسيه:
حيث م = صفر ، 1 ،2 ……، ن - 1
مثال 23 :
اكتب قي الصورة الأسية
الحل
[ ( 1+ ت )2]7 = (1+2 ت - 1 )7 = (2ت)7
مثال 24 :
الحل:
ل= 2 =
مثال 25:
اذا كان ع = 1+ ت اوجد ع6
بالصورة الأسيه
الحل
مثال 26
الحل:
مثال 27
الحل
مثال 28 :
ضع علي الصورة المثلثية و من ثم اوجد جذوره التربيعية علي الصورة الأسية .
الحل
مثال 29 :
ضع
علي الصورة الأسية ، اوجد جذوره التربيعية في الصورة الأسية ايضا
الحل:
ع = 4 ( جتا 240 5 + ت جا 240 5 ) = 4×
= 2 ( جتا 240 5 + ت جا 240 5 )1/2
حيث ن = صفر ، 1
عندما ن = صفر
= 2( جتا 120 5 + ت جا 120 5 ) = 2 ×
عندما ن = 1
= 2( جتا 300 5 + ت جا 300 5 ) = 2 ×
مثال 30 :
علي الصور الاسية
الحل
ع 1 = ( جتا 30 5 - ت جا 30 5)=(جتا(-30 ْ)+ ت جا(-30 ْ))
ع1 = جتا 330 5 +ت جا 330 5
ع2 = جتا 45 5 + ت جا 45 5
ع1 ع 2 = جتا 15 + ت جا 15
مثال 31 :
علي الصورة الاسيه ، و اوجد جذوره التكعيبية
الحل
* الجذور التكعيبية للواحد الصحيح
اذا كان س3 = 1
اوجد الجذور التكعيبية للواحد الصحيح
الحل
س = = ( جتا صفر + ت جا صفر )1/3
س = جتا + ت جا
حيث ن = صفر ، 1 ، 2
الجذور التكعيبية للواحد الصحيح هى :
خواص الجذور التكعيبية للواحد الصحيح.
2. الجذرين المركبين مترافقين
3. مقياس كل من الجذور الثلاثة هو الواحد
4. مربع أى من الجذرين المركبين يساوى الجذر الأخر
5. 1+ w + w2= صفر
6. 1 × w × w 2 =w3 =1
7. wم = wن حيث ن باقي قسمة "م" علي "3"
8. w - w 2 = 3 ت
مثال 1 :
اثبت ان (1 - w + w 2 ) ( 1 + w - w 2 ) = 4
الحل
الطرف الايمن =( -2 w ) ( -2 w 2 ) = 4 w 3 = 4 × 1 = 4
مثال 2:
اثبت ان
( 1 - w + w 2 ) × ( 1 - w 2 + w 4 ) × ( 1- w 4 + w 8 ) × …..
الي ان 2ن حدا يساوي 2 2ن
الحل
الطرف الايمن = ( -2 w ) ( -2 w 2 ) ( -2 w ) ×…. الي 2 ن حدا
= ( -2 w )ن × ( -2 w2) ن
= ( 4 w 3 )ن = 4ن = ( 22 ) ن = 2 2ن = الطرف الايسر
مثال 3:
اذا كانت
اثبت ان س8 + س4 + 1 = صفر
الحل
بفرض ان س = w
الطرف الايمن = w 8 + w 4 + 1
= w 2 + w +1 = صفر = الطرف الايسر
مثال 4 :
اذا كانت س = أ + ب
، ص = أ w + ب w2
، ع = أ w2 + ب w
اثبت ان
اولا: س ص ع = أ3 + ب3
ثانيا : س2 +ص2 + ع2 = 6 أ ب
الحل
اولا : س ص ع = ( أ + ب ) ( أ w + ب w 2 ) ( أ w 2 + ب w )
= ( أ + ب ) ( أ2 + أ ب w 2 + أ ب w +ب2 )
= ( أ + ب ) (أ2 - أ ب + ب2 ) = أ3 + ب3
ثانيا : س2 + ص2 + ع2 = ( أ +ب)2 + ( أ w +ب w 2 ) 2 + ( أ w2 + ب w)2
= أ2 + 2 أ ب + ب2 + أ2w 2 + 2 أ ب + ب2 w + أ2 w+ 2 أ ب + ب2 w2
س2 + ص2 + ع2 = 6 أ ب + أ2 ( 1 + w 2 + w ) +ب2 ( 1 + w + w 2 )
س2 + ص2 + ع2 = 6 أ ب
مثال 6:
الحل
الطرف الأيمن
مثال 7:
الحل
= (w 2 - w )2 = ( 3 ت )2= - 3
مثال 8 :
كون المعادلة التي جذراها
( 1 + w - w 2) 3 ، ( 1 - w + w2 )3
الحل
الجذر الاول = ( 1 + w - w 2)3 = ( - 2 w2 )3 = - 8
الجذر الثاني = ( 1 - w + w2 ) = ( - 2 w )3 = - 8
المعادلة : س2 - (مجموع الجذرين ) س + حاصل ضرب الجذرين = صفر
المعادلة : س2 + 16 س + 64 = صفر
مثال 9 :
الحل
الطرف الايمن = ( 1 + w 2 + ت ) ( 1 + w + ت )
= ( - w + ت ) ( - w 2 + ت )
= 1 - w ت - w 2 ت - 1
= - ت (w + w2 ) = - ت × -1 = ت = الطرف الأيسر
مثال 10 : أثبت أن :
( 2 + 7 w + 2 w 2 ) (2 + 7 w2 + 2 w 4 ) = 25
الحل
الطرف الايمن = ( 7w - 2w ) (7 w2 - 2 w 2 )
= ( 5w ) ( 5w2) = 25w 3 =25= الطرف الايسر
مثال 11 :
الحل
= (-1) 2 + (-1 - w ) + w
= 1 -1 -w + w = صفر = الطرف الايسر
* المقياس و السعة لحاصل ضرب وخارج قسمة عددين مركبين
أولا الضرب
سعه ( ع1 ع2 ) = سعه ( ع1 ) + سعه ( ع2 )
ثانيا القسمة
نتائج : اذا كان ع = ل ( جتا + ت جا )
فان
مثال 13 :
اوجد الصورة المثلثية لكل من ع1 ع2 ، حيث
الحل
مثال 14:
اوجد الصورة المثلثية لكل من ع2 ، حيث
ع = 4 ( جا أ - ت جتا أ )
الحل:
س ح+ ، ص ح-
ع الربع الرابع
ع = 4 [جتا ( 270o + أ ) + ت جا (270o + أ ) ]
مثال 15 :
الحل
مثال 16 :
اذا كان ع1 = 13 ( جتا + ت جا )
، ع 2 = جا 2 + ت جا 2
الحل
ع1 = 13( جتا + ت جا )
ع2 = جتا(90o - 2 )+ ت جا ( 90o - 2 )
ع1ع2 = 13[ جتا(90o - ) + ت جا( 90o - )]
= 13 ( جا هـ + ت جتاهـ )
* المحددات
تعريف
المحدد من الدرجة ن، ( مكون من ن صفاً ، ن عموداً ) ينشأ من حذف
( ن - 1) متغير من ن من المعادلات الخطية .
مثال (1) :
اكتب المحدد الذى ينشأ من حذف المتغيرات في كل من المعادلات الاتية
أ) 2س = -6
س + 3 = صفر
الحل
2س = -6
س = -3
م =
ب) س + ص = 3
س - ص = 1
2س + 3ص = 7
الحل
م=
* العوامل المرافقة لعناصر محدد :
إذا اخذنا أى عنصر في المحدد م3 و ليكن أص ع (يقع في الصف رقم ص ، العمود رقم ع ) و حذفنا الصف رقم ص والعمود رقم ع ، فإنه ينشأ محدد مـ ص ع من الدرجة الثانية و عند ضرب هذا المحدد الناتج في
(-1) ص+ع فإن الكمية الناتجة تسمى بالعامل المرافق للعنصر أص ع
مثال (2)
اوجد قيمة كل من المحددات الاتية
أ) ب)
الحل
نفرض قيمة المحدد = ∆
أ) ∆= 2×1 - 5×3 = -13
ب) مـ = باستخدام عناصر الصف الأول
= 22 - (12) + (-69 ) = (-59)
مثال (3)
حل المعادلة
=3 س
الحل
باستخدام عناصر الصف الاول
س ( س2 - 2س ) = 3س
س ( س2 - 2س - 3 ) = صفر
س ( س - 3) ( س + 1) = صفر
س = صفر أو س = 3 أو س = -1
مثال ( 4)
اوجد قيمة ك التى تجعل (س-1) أحد عوامل المحدد الاتى
الحل
س - 1 أحد عوامل المحدد
س = 1 هو جذر للمعادلة الناتجة
باستخدام عناصر الصف الاول
-2 ( ك + 2 - 10 ) - ( 2 ك + 4 - 10 ) - ( 4 - 2 ) = صفر
-2 ( ك - 8 ) - ( 2 ك - 6 ) - 2 = صفر
-2 ك +16 - 2 ك + 6 - 2 = صفر
-4 ك + 20 = صفر ك=5
* خواص المحددات
1- في أى محدد اذا تبدلت الصفوف بالاعمدة و الاعمدة بالصفوف بنفس ترتيبها فإن قيمة المحدد لا تتغير .
2-قيمة المحدد لا تتغير بفكه عن طريق عناصر أحد صفوفه ( أعمدته ) .
3-في اى محدد اذا بدلنا موضعى صفين ( عمودين ) فإن قيمة المحدد الناتج تساوى قيمة المحدد الاصلى مضروباَ فى(-1).
4-اذا تساوت العناصر المتناظرة في اى صفين ( عمودين ) فإن قيمة المحدد تساوى صفراً
5-اذا وجد عامل مشترك في جميع عناصر صف ( عمود ) في محدد فإن هذا العامل يمكن أخذه خارج المحدد .
6-اذا كانت جميع عناصر أى صف ( عمود ) في محدد تساوى صفراً فإن قيمة المحدد تساوى صفراً .
7-في أى محدد اذا كتبت جميع عناصر صف ( عمود ) كمجموع عنصرين فإن قيمة المحدد يمكن كتاباتها كمجموع قيمتى محددين.
8-اذا أضفنا على عناصر أى صف ( عمود ) في محدد مضاعفات أى صف (عمود) أخر فإن قيمة المحدد لا تتغير .
9- في أى محدد اذا ضربنا عناصر صف ( عمود ) في العوامل المرافقة للعناصر المناظرة في صف (عمود ) أخر و جمعنا الناتج فإن النتيجة = صفر
10- قيمة المحدد
تساوى أ11 أ22 أ32 و المحدد بهذه الصورة يسمى بالصورة المثلثة .
مثال (5)
بدون فك المحدد وضح أن كل من المحددات الآتية يساوى صفراً ، مع ذكر الخاصية التى استخدمت في كل حالة .
مثال (6)
بدون فك المحدد
اثبت أن قيمته = (س + 2أ) (س-أ)2
الحل
( ع3 + ع2 ) + ع1 أى بجمع العمود الثالث والثاني على العمود الأول وأخذ الناتج مشترك
ص2 - ص1 ، ص3 - ص1 أى بطرح الصف الأول من كل من الصف الثاني والثالث فإن المحدد = ( س + 2أ)
نفك المحدد باستخدام عناصر العمود الأول
قيمة المحدد =( س + 2أ) (1) (س-أ )2 = ( س+ 2أ) (س-أ)2
مثال (7)
باستخدام خواص المحددات ، اثبت أن
الحل
نفرض أن قيمة المحدد = س
وبأخذ (-1) مشترك من كل صف من الصفوف الثلاثة وتبديل الصفوف مكان الأعمدة بالتركيب
مثال (8)
بدون فكك المحدد أثبت أن
حيث 1، w،ًًw2 هي الجذور التخيلية للوحدة
الحل
الطرف الايمن =
(ع2 + ع3) + ع1
المحدد =
ص1 - ص2
المحدد =
= ( w2 - w )
= ع1 -ع3
المحدد =(w2- w ( (2w + 1)
= 2 + w2 - 2 2w - w
= 2 - w2 - w= 2-(w2+ w (
= 2- (-1) = 2+1 =3
* حل المعادلات الخطية بطريقة كرامر
مثال9
بطريقة كرامر أوجد مجموعة حل المعادلة
2س+3ص=3
3س-2ص=11
مثال 10
بطريقة كرامر اوجد مجموعة الحل للمعادلات
ص= س+2
3ع -2ص =1
س+ع= صفر
الحل
- س +ص =2
- 2 ص +3ع =1
س+ع =صفر
∆ = = ( -1 ) ( -2 ) - 1 × - 3 = 5
∆ س = و بإستخدام عناصر الصف الاخير للفك
∆ س = 1( -4 - 1 ) = - 5
∆ ص = باستخدام عناصر الصف الأول فإن
= -1( 1 -صفر ) - 2 ( صفر - 3 )
= - 1 + 6 = 5
∆ ع = باستخدام عناصر الصف الأخير فإن
∆ ع = 1 ( 1 + 4 ) = 5
الأحد، 3 مايو 2009
وزارة التربية
التوجيه الفني للرياضيات
دورة التنمية المهنية لمعلمي ومعلمات المرحلة المتوسطة
لتدريس الصف التاسع
العام الدراسي 2006/2007م
الهندســـة التحليليــــة
الهندسة التحليلية
الخــط المستقيم
الهندسة التحليلية هي فرع المعرفة الرياضية الذي تم من خلاله الربط بين فرعي الهندسة والجبر وهي طريقة لدراسة الخواص الهندسية للأشكال باستخدام الوسائل الجبرية 0
وتهتم الهندسة التحليلية بالمواضيع ذاتها التي تهتم بها الهندسة الاقليدية غير أنها تتيح طرقا أيسر لبرهان العديد من النظريات وتلعب دورا مهما في حساب المثلثات وحساب التفاضل والتكامل .
تستخدم الهندسة التحليلية نطاقا احداثيا يسمى النظام الديكارتي نسبة إلى العالم الفرنسي
رينيه ديكارت ( 1596 – 1650 ) صاحب الفكرة الأساسية للربط بين الهندسة والجبر وهي تمثيل كل نقطة في المستوى ببعديها عن مستقيمين متعامدين يلتقيان في نقطة تسمى نقطة الأصل ( 0 ، 0 ). يسمي المستقيمان المتعامدان محوري الإحداثيات 0 المحور الأفقي هو المحور السيني والمحور الراسي هو المحو الصادي ويحدد موقع النقاط في المستوى بإعطائها احداثيين على خطى الأعداد
س ، ص ويسمي س الاحداثي السيني وهو يحدد موقع النقطة (س،ص)
بالنسبة لمحور السينات بينما يحدد ص الاحداثي الصادي موقع 0
النقطة بالنسبة لمحور الصادات ويكتب هذان الإحداثيان
على صورة زوج مرتب (س ، ص )0
- ترتبط كل نقطة في المستوى بزوج مرتب وحيد من الأعداد (س ، ص )
وأيضا كل زوج مرتب يرتبط بنقطة واحدة وواحدة فقط في المستوى
وبذلك يكون لدينا تطبيق تقابل من :
مجموعة نقاط المستوى إلى ة (س، ص) : س ، ص ي ح ’
- محوري الإحداثيات يقسمان المستوى الاحداثي إلى أربعة أرباع :
الربع الأول = ة ( س، ص) : س < 0 ، ص < 0 : س ، ص ي ح’
الربع الثاني = ة ( س ، ص ) : س > 0 ، ص <0 : س ، ص ي ح’
الربع الثالث = ة ( س، ص ) : س >. , ص > 0 : س ، ص ي ح’
الربع الرابع = ة ( س ، ص : س < 0 ، ص > 0 : س ، ص ي ح’
كذلك يمكن وصف المحور السيني والمحور الصادي كمجموعة من النقاط كالتالي :-
المحور السيني = ة( س،ص) : س ي ح ، ص = 0 ’
المحور الصادي = ة (س،ص) : ص ح ، س= 0 ’
تدريب 1 :-
=====
(1) أكتب مجموعة النقاط التي تمثل المستقيم الذي يوازي محور الصادات ويمر بالنقطة (-3 ،4) 0
(2) أكتب مجموعة النقاط التي تمثل المستقيم الذي يوازي محور السينات ويمر بالنقطة (-3،4)0
تدريب 2 :-
=======
مثل في مستوى الإحداثيات بيانيا كل علاقة مما يلي ثم بين أي منها يمثل تطبيقا :-
(1) المستقيم ل = ة( س،ص) : س، ص ي ح ، ص = س+4’
(2) المستقيم ك = ة (س‘ص) : س، ص ي ح ، 3 ص +س – 1=0 ’
(3) المنطقة م1 = ة (س،ص) : س، ص ي ح ‘ ص< س – 5’
(4) المنطقة م 2= ة (س،ص) : س ،ص ي ح ، ص > 2س’
(5) الدائرة م1 = ة ( س،ص) : س2 + ص2 = 4 ’
(6) الدائرة م2 = ة ( س،ص) : س2 + ص2 = 25 ’
(7) القطع المكافيء ق = ة( س،ص ) : س،ص ي ح ، ص= س2 ’
أ
* المسافة بين نقطتين في مستوى الاحدثيات :-
=========================== ب
لتكن أ ب قطعة مستقيمة حيث
أ ( س1،ص1 ) ، ب ( س2 ، ص2 ) فان
المسافة بين النقطتين ا ، ب هي
أب = [(س: 2 –: :س1 :)2::+( :ص2 :– :ص1:)2:
- البعد بين النقطة أ ( س ‘ ص ) ونقطة الأصل = [س@+/ ص@/
- احداثيا نقطة المنتصف للقطعة المستقيمة أ ب هي
( س1 + س2 ، ص1 + ص2 )
2 2
* احداثيا نقطة تقسيم قطعة مستقيمة من الداخل :-
لتكن أ ب قطعة مستقيمة حيث أ(س1 ،ص1) ،
ب ( س2 ، ص2 ) ولتكن ج ( س ، ص)
تقسم المسافة بين ا،ب من الداخل بنسبة ل 1: ل 2 من جهة أ
فيكون احداثيا نقطة التقسيم ج =
( ل1 س2 + ل2 س1 ، ل1 ص2 + ل2 ص1 )
ل1+ ل2 ل1 + ل2
مثال 1:
لتكن أ ( 1 ، 2 ) ، ب( 1 ، 4 ) أوجد إحداثيا جـ التي تقسم القطعة أ ب من الداخل
بنسبة 3:1 من جهة أ
الحل :
احداثيا جـ هي ( ل2 س1+ ل1 س2 ، ل1ص2 + ل2 ص1 )
ل1+ ل2 ل1 + ل2
= ( 1× 1 + 3 × 1 ، 1 × 4 + 3×2 ) = ( 1 ، 5ر2)
4 4
مثال 2 :
إذا كان أ ب ج مثلث رؤوسه أ ( س1 ، ص1 ) ،ب ( س2 ، ص2 )
جـ ( س3 ، ص3 ) فأوجد احداثيا النقطة م ملتقى القطع المتوسطة للمثلث أ ب جـ 0
ب
الحل : ب د قطعة متوسطة للمثلث 0 ج
إ د في منتصف القطعة أ جـ د أ
بم احداثيا د هي ( س1 + س2 ، ص1 + ص2 )
2 2
، م ( س ، ص ) هي نقطة تلاقي القطع المتوسطة للمثلث
إ م تقسم ب ء ، من الداخل بنسبة 1:2 من جهة ب
إ باستخدام قانون التقسيم من الداخل يكون :
1× س2 + 2 × س1 + س2
س = = س1 + س2 + س3
1× ص2 + 2 × ص1 + ص2
ص= = ص1 + ص2 + ص3
إ إحداثيات نقطة تلاقي القطع المتوسطة هي :-
م ( س1+س2 + س3 ، ص1+ ص2 + ص3 )
__________________________________________________________________
تمرينـــــات
(1) أوجد مساحة المنطقة المثلثة أ ب جـ حيث
أ(س1 ، ص1 ) ، ب ( س2 ، ص2 ) ، جـ ( س3 ، ص3) .
(2) س ص ع مثلث بحيث س ( -1 ، 2) ، ص( 3 ، -5) ، ع (1 ، -2 ) أوجد احداثيا
نقطة تلاقي القطع المتوسطة للمثلث س ص ع 0
(3) اثبت أن المثلث الذي رؤوسه أ ( 3 ، 4) ، ب( 0 ، -7) ، ج ( 6 ، 2 ) قائم الزاوية ، ثم
أوجد مساحة المنطقة المثلثة أ ب جـ 0
(4) اثبت أن النقط أ ( 3 ، 4 ) ، ب( - 6 ، -8 ) ، ونقطة الأصل تقع على استقامة واحدة 0
(5) أوجد طول القطعة المتوسطة المارة بالنقطة أ للمثلث الذي رؤوسه هي
أ ( -2 ، -6 ) ، ب( 6 ، -1) ، جـ ( 0 ، 5 ) 0
(6) أوجد مساحة منطقة المثلث أ ب جـ الذي رؤوسه أ ( -3 ، 1)،ب( -1 ، 3) ، جـ( 5 ، 3)
(7) س ص ع مثلث بحيث س ( -1 ، 2 ) ، ص(3،-5) ، ع(1، -2) أوجد احداثيا نقطة
تلاقي القطع المتوسطة للمثلث س ص ع 0
ميل المستقيم :-
* زاوية ميل المستقيم هي الزاوية المرسومة من محور السينات إلى الخط المستقيم
* تعريف :-
إذا كان ل مستقيما لا يوازي محور الصادات وكانت (س1 ، ص1 ) ، ( س2 ، ص2 ) أي نقطتين على الخط المستقيم ل فإن
ميل المستقيم ل = ص2 - ص1 س2 لا يساوي س1
س2 - س1
ملاحظة :
جميع المستقيمات الموازية لمحور الصادات ليس لها ميل 0
* ميل المستقيم ل الذي يصنع مع الاتجاه الموجب لمحور السينات زاوية قياسها هـ
هو: م= ظا هـ حيث 50 < هـ < 5180
، هـ لا تساوي 90 5
ويلاحظ الآتي :-
- إذا كانت زاوية الميل حادة فإن ميل المستقيم يكون موجبا 0
- إذا كانت زاوية الميل منفرجة فإن الميل يكون سالبا 0
- إذا كانت زاوية الميل قائمة فإن المستقيم في هذه الحالة
يكون رأسيا أي يوازي محور الصادات وليس له ميل 0
- إذا كانت زاوية الميل هـ = 0 فأن المستقيم في هذه الحالة
يكون أفقيا أي يوازي محور السينات وميله يساوي صفرا 0
- المستقيمان المتوازيان لهما نفس الميل 0
( بشرط ألا يوازي أحدهما محور الصادات )
والعكس أيضا صحيح
أي باعتبار ل1 ، ل2 مستقيمان غير رأسيان
ميلاهما م1 ، م2 على الترتيب فإن :-
ل1 // ل2 إذا وفقط إذا م1 = م2
- المستقيمان المتعامدان يكون
حاصل ضرب ميلاهما = -1
( بشرط ألا يوازي أحداهما محور الصادات )0
والعكس أيضا صحيح
أي ل1 ا ل2 إذا وفقط إذا م1 × م2 = -1
رابعا : معادلة المستقيم :-
(1) معادلة المستقيم الذي ميله م ويمر بالنقطة ( س1، ص1 )
هي: ص – ص1 = م (س- س1)
(2) معادلة المستقيم المار بالنقطتين ( س1 ، ص1) ، (س2 ، ص2)
هي: ص - ص1 = ص2 - ص1
س - س1 س2 - س1
مثال :-
أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطتين (1، -2) ، ( -3 ، 4)
الحل :
ميل المستقيم م = 4 – ( - 2 ) = - 3
- 3 - 1 2
معادلة المستقيم هي :
ص – (-2 ) = - #؛2 ( س – 1 )
أي 3س + 2ص + 1=0
حل آخر باستخدام الصورة الأخرى لمعادلة المستقيم 0
هي: ص – ص1 = ص2 - ص1
س – س1 س2 - س1
ص – (- 2) = 4 – ( - 2)
س - 1 - 3 - 1
ص + 2 = 6
س - 1 -4
أي 3 س + 2 ص + 1 = 0
مثال :
أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطتين ( 3 ، -1) ، (3، 5 )
الحل
بم س1 = س2
إ المستقيم ليس له ميل
إ المستقيم رأسي أي أنه يوازي محور الصادات 0
أي أن جميع نقط المستقيم لها نفس الاحداثي السيني 0
بم (3 ، -1 ) ي للمستقيم 0
إ معادلة المستقيم هي س = 3
مثال :-
أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطتين ( 1 ، 2 ) ، (4 ، 2 )
الحل :-
ميل المستقيم م = 2 – 2 = 0
4 - 1
إ المستقيم يوازي محور السينات
إ الإحداثيات الصادية لجميع نقطه متساوية 0
إ معادلته هي ص = 2 .
(3) معادلة المستقيم الذي ميله م ويقطع من محور الصادات جزءا طوله ج
هي : ص = م س + ج
مثال 4 :-
أوجد معادلة المستقيم الذي ميله 2 ويقطع 5 وحدات من الجزء السالب لمحور الصادات 0
الحـــل :-
ص = 2س – 5
أو 2س – ص – 5 =0
(4) الصورة العامة لمعادلة المستقيم ا س + ب ص + ج = 0
حيث ا، ب ، ج يح ، ا، ب لا يساويان الصفر معا 0
ويمكن استنتاج أن ميل المستقيم م = - ا؛بب حيث ب لا تساوي صفرا 0
ب
فمثلا المعادلة 3س -2 ص +5 = 0 تمثل معادلة مستقيم ميله = #؛2
ويقطع جزءا من محور الصادات طوله %؛2
ويقطع جزءا من محور السينات طوله %23؛2
ملاحظة :-
إذا تقاطع مستقيمان ميلاهما م1 ، م2 فانه يمكن
إيجاد قياس الزاوية إلى يحدادنها هـ
باستخدام القانون : ظا ه = م 1 – م 2
مثال :-
أوجد قياس الزاوية بين المستقيمان
ل1 : ص – [3 س + 5 = 0 ، ل2 : س - [3 ص – 3 =0
الحل :-
بفرض م1 ميل المستقيم ل1 ، م2 ميل المستقيم ل2
إ م1 = [3 ، م2 = !
[3
ظاهـ = م1 - م2 = 1
1 + م1 م2 [3
إ هـ = 30 5 وهي قياس الزاوية بين المستقيمان
خامسا :- بعد نقطة عن مستقيم
بعد النقطة ك ( س1، ص1)
عن المستقيم ل : اس + ب ص + ج = 0 ك(س1،ص1)
إذا رمزنا له بالرمز ف فان
ف = ‘اس1 + ب ص1 + ج‘ ل
ا2 + ب2
ويمكن استخدام القانون السابق في إيجاد البعد بين مستقيمين متوازيين0
مثال :-
أثبت أن المستقيمين ل1 : 3س – 4 ص + 2 = 0، ل2 : 6س – 8ص -7 =0 متوازيان ثم أوجد البعد بينهما0
الحــل :-
إ م1 = #؛4 ، م2 = #؛4 إ م1 = م2
إ ل 1 ]ل2
ولإيجاد البعد بينهما نعين نقطة على المستقيم الأول ثم نوجد بعدها عن المستقيم الثاني بوضع س = 2 في معادلة المستقيم ل1
إ ص = 2 إ (2 ، 2) ي ل1
إ ف = ‘6 × 2 – 8 × 2 – 7 ‘ = 1.1
10
إ البعد بين المستقيمين = 1.1 وحدة
تمرينـــــــات
(1) أوجد معادلات المستقيمات التي تحقق الشروط التالية :-
( أ ) الميل = -3 ويمر بالنقطة ( -1 ، 2 )
( ب) الميل = 4 والجزء المقطوع من محور الصادات = 2
( ج) يمر بالنقطتين ( -1 ، 4 ) ، ( 2 ، -3 )
(د) طول الجزء المقطوع من محور السينات 4 وحدات وطول الجزء المقطوع
من محور الصادات وحدتين 0
( هـ ) يمر بالنقطة ( -2 ، 3 ) ويوازي المستقيم 3 س – ص + 1 = 0
(و ) يمر بالنقطة ( 1 ، 4 ) وعمودي على المستقيم ص – س = 0
(2 ) أوجد المسافة بين المستقيمين المتوازيين 0
ص + س – 3 = 0 ، 2ص + س + 10 = 0
(3) أوجد مساحة المثلث الذي رؤوسه هي النقط :-
( 2 ، 2 ) ، ( 6 ، 5 ) ، ( 4 ، -6 )
(4) أوجد مساحة متوازي الأضلاع أ ب ج د حيث أ ( 4 ، -4 ) ، ب ( -1 ، -3 )
ج ( -3 ، 5 ) ، د ( 2 ، 4 )
(5 ) أثبت أن المستقيمان
ل1 : 3س – 4ص + 12 = 0
ل2 : 6س – 8 ص + 4 = 0
متوازيان ثم أوجد البعد بينهما 0
التحويلات الهندسية :-
* التحويل الهندسي هو تطبيق تقابل معرف على المستوى.
تدريب : اعتبر التحويل الهندسي
ت : سس سس حيث سس مجموعة نقاط المستوى 0
ت : (س ، ص ) = ( 2س ، ص + 3 )
فإذا كان ت ( م) = مَ فأوجد
مَ إذا كانت م ( -1 ،2 )
م إذا كانت مَ ( -3 ، 0 )
* الانعكاس :-
الانعكاس في محور :
هو تحويل هندسي يعين لكل نقطة أ في المستوى صورة أ َ على النحو التالي :- ل
إذا كانت أ ي ل فإن أ أ
وإذا كانت أ يي ل فأن أ أ َ حيث أ / / أ َ
أ أ َ ل ، أ د = أ َد
يسمى المحور ل محور الانعكاس
وكل نقطة من نقاط ل تسمى نقطة ثابتة 0
تدريب :
عين صورة النقطة ( س ، ص ) تحت تأثير
(1) انعكاس في محور السينات
(2) انعكاس في محور الصادات
(3) انعكاس في المستقيم ص = س
الانعكاس في نقطة م :
هو تحويل هندسي يعين لكل نقطة أ في المستوى صورة أ َ ام
بحيث يكون أ " م " أَ
أ م = أ َم ، م م 0
تسمى النقطة م ( مركز الانعكاس )
النقطة م هي النقطة الثانية الوحيدة0
خواص الانعكاس في محور ( أو في نقطة )
الانعكاس في محور ( أو في نقطة ) يحافظ على الاستقامة والبينية
وعلى قياس الزوايا وعلى الأطوال وعلى التوازي 0
والانعكاس في محور يعكس الاتجاه الدوراني
بينما الانعكاس في نقطة يحافظ على الاتجاه الدوراني 0
التناظر حول المحور :-
إذا كانت صورة الشكل بالانعكاس في محور هي الشكل نفسه 0
قيل أن الشكل متناظر حول هذا المحور ، وحينئذ يسمى المحور ( محور تناظر )
وإذا كانت صورة الشكل بالانعكاس في نقطة هي الشكل نفسه 0
قيل أن الشكل متناظر حول النقطة ، وحينئذ تسمى النقطة ( مركز تناظر )
تدريب :-
(1 ) أوجد صورة أ ( س ، ص ) تحت تأثير انعكاس في نقطة الأصل 0
(2) أعط أمثله لأشكال هندسية لها محاور تناظر 0
(3) أعط أمثله لأشكال هندسية لها مركز تناظر 0
* الانسحاب :-
الانسحاب هو تحويل هندسي يعين لكل نقطة أ في المستوى صورة أ َ وذلك بإزاحة هذه النقطة مسافة معينة باتجاه معين 0
خواص الانسحاب :-
يحافظ على البينة ، الاستقامة ، الأطوال ، قياس الزاويا ، التوازي وعلى الاتجاه الدوراني 0
تدريب :
أوجد صورة النقطة ( س، ص ) تحت تأثير الانسحاب المحدد 0
(1) انسحاب في اتجاة محور السينات الموجب مسافة قدرها أ وحدة 0
(2) انسحاب في اتجاه محور الصادات السالب مسافة قدرها ب وحدة 0
الدوران :
الدوران حول نقطة م هو تحويل هندسي يعين لكل نقطة أ في المستوى صورة على النحو الآتي :-
أ أ َ حيث أم = أ َ م ، م م 0
تسمى م ( مركز الدوران ) وتسمى الزاوية أ م أ َ ( زاوية الدوران )
وإذا كان قياس زاوية الدوران = هـ فإننا نعبر عن الدوران بالرمز د ( م ، هـ ) أو دم ،هـ
- تحت تأثير د ( م ، 90 ْ ) في مستوى الإحداثيات:-
( س ، ص ) ( - ص ، س )
تدريب :-
1) اذكر خواص الدوران 0
2) عين صورة نقطة أ تحت تأثير دوران حول نقطة أخرى م بزاوية قدرها 70 5
3) عين صورة نقطة ب تحت تأثير دوران حول نقطة أخرى م بزاوية قدرها -70 5
- الانعكاس في نقطة مثل م يكافىء دورانا مركزه النقطة م وزاويته قياسها 180 5أو-180 5 0
* التحويل الهندسي الذي يحافظ على قياس الأطوال يسمى تحويلا متقايسا 0
* التكبير :-
إذا كانت و نقطة في المستوى ، فإن التحويل الهندسي الذي يعين لكل نقطة أ ( غير و )
صورة أ الشعاع وأ بحيث يكون
وأ َ = عددا ثابتا ، و و
و أ
يسمى ( تكبيرا ) وتسمى النقطة الصامدة و ( مركز التكبير ) ويسمى العدد الثابت معامل التكبير
تدريب :
ارسم صورة المثلث أ ب جـ الذي رؤوسه 0
أ ( 1 ، 2 ) ، ب( - 1 ، 3 ) ، جـ ( -2 ، 4 ) تحت تأثير التكبير ت ( و ، 2 )
حيث " و " نقطة الأصل
التكبير له جميع خواص الانسحاب والدوران لكنه لا يحافظ على الأطوال 0
* في المثلث أ ب ج إذا أخذت نقطتان مثل : أ
س ، ص على ضلعين أ ب ، أ ج ____ ____
فإذا كان : ـــ = ـــ فإن س ص // ب ج س ص
___ ___
(2) وإذا كان س ص // ب ج فإن : أ س = أ ص ب ج
أ ب أ ج
* التشابه :-
يقال لمضلعين لهما العدد نفسه من الأضلاع أنهما متشابهان إذا تطابقة زواياها المتناظرة وتناسبت أطوال أضلاعها المتناظرة 0
أ أ َ
ب ج بَ جَ
أ ب ج أ َب َ ج َ
نظرية (1) يتشابه المثلثان إذا تطابقت زواياها المتناظرة 0 أ د
ــ = ــ = ــ
- برهن النظرية 0 ب ج هـَ و
نظرية ( 2 ) يتشابة المثلثان اذا تناسبت أطوال أضلاعها المتناظرة 0
بم ــ = ــ = ــ
إ د هـ و أ ب ج
- برهن النظرية :-
نظرية ( 3 )
يتشابه المثلثان إذا طابقت زاوية في المثلث زاوية في المثلث الآخر وتناسب طولا الضلعين المحددين لهاتين الزاويتين0 أ د
ق ا ؟ = ق ء ؟
ـــ = ـــ ب ج هـ و
إ المثلث أ ب ج ~ المثلث د ه و
- برهن النظرية :-
- مناقشة تمرينات من كتاب الطالب على التكبير والتشابه 0
التوجيه الفني للرياضيات
دورة التنمية المهنية لمعلمي ومعلمات المرحلة المتوسطة
لتدريس الصف التاسع
العام الدراسي 2006/2007م
الهندســـة التحليليــــة
الهندسة التحليلية
الخــط المستقيم
الهندسة التحليلية هي فرع المعرفة الرياضية الذي تم من خلاله الربط بين فرعي الهندسة والجبر وهي طريقة لدراسة الخواص الهندسية للأشكال باستخدام الوسائل الجبرية 0
وتهتم الهندسة التحليلية بالمواضيع ذاتها التي تهتم بها الهندسة الاقليدية غير أنها تتيح طرقا أيسر لبرهان العديد من النظريات وتلعب دورا مهما في حساب المثلثات وحساب التفاضل والتكامل .
تستخدم الهندسة التحليلية نطاقا احداثيا يسمى النظام الديكارتي نسبة إلى العالم الفرنسي
رينيه ديكارت ( 1596 – 1650 ) صاحب الفكرة الأساسية للربط بين الهندسة والجبر وهي تمثيل كل نقطة في المستوى ببعديها عن مستقيمين متعامدين يلتقيان في نقطة تسمى نقطة الأصل ( 0 ، 0 ). يسمي المستقيمان المتعامدان محوري الإحداثيات 0 المحور الأفقي هو المحور السيني والمحور الراسي هو المحو الصادي ويحدد موقع النقاط في المستوى بإعطائها احداثيين على خطى الأعداد
س ، ص ويسمي س الاحداثي السيني وهو يحدد موقع النقطة (س،ص)
بالنسبة لمحور السينات بينما يحدد ص الاحداثي الصادي موقع 0
النقطة بالنسبة لمحور الصادات ويكتب هذان الإحداثيان
على صورة زوج مرتب (س ، ص )0
- ترتبط كل نقطة في المستوى بزوج مرتب وحيد من الأعداد (س ، ص )
وأيضا كل زوج مرتب يرتبط بنقطة واحدة وواحدة فقط في المستوى
وبذلك يكون لدينا تطبيق تقابل من :
مجموعة نقاط المستوى إلى ة (س، ص) : س ، ص ي ح ’
- محوري الإحداثيات يقسمان المستوى الاحداثي إلى أربعة أرباع :
الربع الأول = ة ( س، ص) : س < 0 ، ص < 0 : س ، ص ي ح’
الربع الثاني = ة ( س ، ص ) : س > 0 ، ص <0 : س ، ص ي ح’
الربع الثالث = ة ( س، ص ) : س >. , ص > 0 : س ، ص ي ح’
الربع الرابع = ة ( س ، ص : س < 0 ، ص > 0 : س ، ص ي ح’
كذلك يمكن وصف المحور السيني والمحور الصادي كمجموعة من النقاط كالتالي :-
المحور السيني = ة( س،ص) : س ي ح ، ص = 0 ’
المحور الصادي = ة (س،ص) : ص ح ، س= 0 ’
تدريب 1 :-
=====
(1) أكتب مجموعة النقاط التي تمثل المستقيم الذي يوازي محور الصادات ويمر بالنقطة (-3 ،4) 0
(2) أكتب مجموعة النقاط التي تمثل المستقيم الذي يوازي محور السينات ويمر بالنقطة (-3،4)0
تدريب 2 :-
=======
مثل في مستوى الإحداثيات بيانيا كل علاقة مما يلي ثم بين أي منها يمثل تطبيقا :-
(1) المستقيم ل = ة( س،ص) : س، ص ي ح ، ص = س+4’
(2) المستقيم ك = ة (س‘ص) : س، ص ي ح ، 3 ص +س – 1=0 ’
(3) المنطقة م1 = ة (س،ص) : س، ص ي ح ‘ ص< س – 5’
(4) المنطقة م 2= ة (س،ص) : س ،ص ي ح ، ص > 2س’
(5) الدائرة م1 = ة ( س،ص) : س2 + ص2 = 4 ’
(6) الدائرة م2 = ة ( س،ص) : س2 + ص2 = 25 ’
(7) القطع المكافيء ق = ة( س،ص ) : س،ص ي ح ، ص= س2 ’
أ
* المسافة بين نقطتين في مستوى الاحدثيات :-
=========================== ب
لتكن أ ب قطعة مستقيمة حيث
أ ( س1،ص1 ) ، ب ( س2 ، ص2 ) فان
المسافة بين النقطتين ا ، ب هي
أب = [(س: 2 –: :س1 :)2::+( :ص2 :– :ص1:)2:
- البعد بين النقطة أ ( س ‘ ص ) ونقطة الأصل = [س@+/ ص@/
- احداثيا نقطة المنتصف للقطعة المستقيمة أ ب هي
( س1 + س2 ، ص1 + ص2 )
2 2
* احداثيا نقطة تقسيم قطعة مستقيمة من الداخل :-
لتكن أ ب قطعة مستقيمة حيث أ(س1 ،ص1) ،
ب ( س2 ، ص2 ) ولتكن ج ( س ، ص)
تقسم المسافة بين ا،ب من الداخل بنسبة ل 1: ل 2 من جهة أ
فيكون احداثيا نقطة التقسيم ج =
( ل1 س2 + ل2 س1 ، ل1 ص2 + ل2 ص1 )
ل1+ ل2 ل1 + ل2
مثال 1:
لتكن أ ( 1 ، 2 ) ، ب( 1 ، 4 ) أوجد إحداثيا جـ التي تقسم القطعة أ ب من الداخل
بنسبة 3:1 من جهة أ
الحل :
احداثيا جـ هي ( ل2 س1+ ل1 س2 ، ل1ص2 + ل2 ص1 )
ل1+ ل2 ل1 + ل2
= ( 1× 1 + 3 × 1 ، 1 × 4 + 3×2 ) = ( 1 ، 5ر2)
4 4
مثال 2 :
إذا كان أ ب ج مثلث رؤوسه أ ( س1 ، ص1 ) ،ب ( س2 ، ص2 )
جـ ( س3 ، ص3 ) فأوجد احداثيا النقطة م ملتقى القطع المتوسطة للمثلث أ ب جـ 0
ب
الحل : ب د قطعة متوسطة للمثلث 0 ج
إ د في منتصف القطعة أ جـ د أ
بم احداثيا د هي ( س1 + س2 ، ص1 + ص2 )
2 2
، م ( س ، ص ) هي نقطة تلاقي القطع المتوسطة للمثلث
إ م تقسم ب ء ، من الداخل بنسبة 1:2 من جهة ب
إ باستخدام قانون التقسيم من الداخل يكون :
1× س2 + 2 × س1 + س2
س = = س1 + س2 + س3
1× ص2 + 2 × ص1 + ص2
ص= = ص1 + ص2 + ص3
إ إحداثيات نقطة تلاقي القطع المتوسطة هي :-
م ( س1+س2 + س3 ، ص1+ ص2 + ص3 )
__________________________________________________________________
تمرينـــــات
(1) أوجد مساحة المنطقة المثلثة أ ب جـ حيث
أ(س1 ، ص1 ) ، ب ( س2 ، ص2 ) ، جـ ( س3 ، ص3) .
(2) س ص ع مثلث بحيث س ( -1 ، 2) ، ص( 3 ، -5) ، ع (1 ، -2 ) أوجد احداثيا
نقطة تلاقي القطع المتوسطة للمثلث س ص ع 0
(3) اثبت أن المثلث الذي رؤوسه أ ( 3 ، 4) ، ب( 0 ، -7) ، ج ( 6 ، 2 ) قائم الزاوية ، ثم
أوجد مساحة المنطقة المثلثة أ ب جـ 0
(4) اثبت أن النقط أ ( 3 ، 4 ) ، ب( - 6 ، -8 ) ، ونقطة الأصل تقع على استقامة واحدة 0
(5) أوجد طول القطعة المتوسطة المارة بالنقطة أ للمثلث الذي رؤوسه هي
أ ( -2 ، -6 ) ، ب( 6 ، -1) ، جـ ( 0 ، 5 ) 0
(6) أوجد مساحة منطقة المثلث أ ب جـ الذي رؤوسه أ ( -3 ، 1)،ب( -1 ، 3) ، جـ( 5 ، 3)
(7) س ص ع مثلث بحيث س ( -1 ، 2 ) ، ص(3،-5) ، ع(1، -2) أوجد احداثيا نقطة
تلاقي القطع المتوسطة للمثلث س ص ع 0
ميل المستقيم :-
* زاوية ميل المستقيم هي الزاوية المرسومة من محور السينات إلى الخط المستقيم
* تعريف :-
إذا كان ل مستقيما لا يوازي محور الصادات وكانت (س1 ، ص1 ) ، ( س2 ، ص2 ) أي نقطتين على الخط المستقيم ل فإن
ميل المستقيم ل = ص2 - ص1 س2 لا يساوي س1
س2 - س1
ملاحظة :
جميع المستقيمات الموازية لمحور الصادات ليس لها ميل 0
* ميل المستقيم ل الذي يصنع مع الاتجاه الموجب لمحور السينات زاوية قياسها هـ
هو: م= ظا هـ حيث 50 < هـ < 5180
، هـ لا تساوي 90 5
ويلاحظ الآتي :-
- إذا كانت زاوية الميل حادة فإن ميل المستقيم يكون موجبا 0
- إذا كانت زاوية الميل منفرجة فإن الميل يكون سالبا 0
- إذا كانت زاوية الميل قائمة فإن المستقيم في هذه الحالة
يكون رأسيا أي يوازي محور الصادات وليس له ميل 0
- إذا كانت زاوية الميل هـ = 0 فأن المستقيم في هذه الحالة
يكون أفقيا أي يوازي محور السينات وميله يساوي صفرا 0
- المستقيمان المتوازيان لهما نفس الميل 0
( بشرط ألا يوازي أحدهما محور الصادات )
والعكس أيضا صحيح
أي باعتبار ل1 ، ل2 مستقيمان غير رأسيان
ميلاهما م1 ، م2 على الترتيب فإن :-
ل1 // ل2 إذا وفقط إذا م1 = م2
- المستقيمان المتعامدان يكون
حاصل ضرب ميلاهما = -1
( بشرط ألا يوازي أحداهما محور الصادات )0
والعكس أيضا صحيح
أي ل1 ا ل2 إذا وفقط إذا م1 × م2 = -1
رابعا : معادلة المستقيم :-
(1) معادلة المستقيم الذي ميله م ويمر بالنقطة ( س1، ص1 )
هي: ص – ص1 = م (س- س1)
(2) معادلة المستقيم المار بالنقطتين ( س1 ، ص1) ، (س2 ، ص2)
هي: ص - ص1 = ص2 - ص1
س - س1 س2 - س1
مثال :-
أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطتين (1، -2) ، ( -3 ، 4)
الحل :
ميل المستقيم م = 4 – ( - 2 ) = - 3
- 3 - 1 2
معادلة المستقيم هي :
ص – (-2 ) = - #؛2 ( س – 1 )
أي 3س + 2ص + 1=0
حل آخر باستخدام الصورة الأخرى لمعادلة المستقيم 0
هي: ص – ص1 = ص2 - ص1
س – س1 س2 - س1
ص – (- 2) = 4 – ( - 2)
س - 1 - 3 - 1
ص + 2 = 6
س - 1 -4
أي 3 س + 2 ص + 1 = 0
مثال :
أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطتين ( 3 ، -1) ، (3، 5 )
الحل
بم س1 = س2
إ المستقيم ليس له ميل
إ المستقيم رأسي أي أنه يوازي محور الصادات 0
أي أن جميع نقط المستقيم لها نفس الاحداثي السيني 0
بم (3 ، -1 ) ي للمستقيم 0
إ معادلة المستقيم هي س = 3
مثال :-
أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطتين ( 1 ، 2 ) ، (4 ، 2 )
الحل :-
ميل المستقيم م = 2 – 2 = 0
4 - 1
إ المستقيم يوازي محور السينات
إ الإحداثيات الصادية لجميع نقطه متساوية 0
إ معادلته هي ص = 2 .
(3) معادلة المستقيم الذي ميله م ويقطع من محور الصادات جزءا طوله ج
هي : ص = م س + ج
مثال 4 :-
أوجد معادلة المستقيم الذي ميله 2 ويقطع 5 وحدات من الجزء السالب لمحور الصادات 0
الحـــل :-
ص = 2س – 5
أو 2س – ص – 5 =0
(4) الصورة العامة لمعادلة المستقيم ا س + ب ص + ج = 0
حيث ا، ب ، ج يح ، ا، ب لا يساويان الصفر معا 0
ويمكن استنتاج أن ميل المستقيم م = - ا؛بب حيث ب لا تساوي صفرا 0
ب
فمثلا المعادلة 3س -2 ص +5 = 0 تمثل معادلة مستقيم ميله = #؛2
ويقطع جزءا من محور الصادات طوله %؛2
ويقطع جزءا من محور السينات طوله %23؛2
ملاحظة :-
إذا تقاطع مستقيمان ميلاهما م1 ، م2 فانه يمكن
إيجاد قياس الزاوية إلى يحدادنها هـ
باستخدام القانون : ظا ه = م 1 – م 2
مثال :-
أوجد قياس الزاوية بين المستقيمان
ل1 : ص – [3 س + 5 = 0 ، ل2 : س - [3 ص – 3 =0
الحل :-
بفرض م1 ميل المستقيم ل1 ، م2 ميل المستقيم ل2
إ م1 = [3 ، م2 = !
[3
ظاهـ = م1 - م2 = 1
1 + م1 م2 [3
إ هـ = 30 5 وهي قياس الزاوية بين المستقيمان
خامسا :- بعد نقطة عن مستقيم
بعد النقطة ك ( س1، ص1)
عن المستقيم ل : اس + ب ص + ج = 0 ك(س1،ص1)
إذا رمزنا له بالرمز ف فان
ف = ‘اس1 + ب ص1 + ج‘ ل
ا2 + ب2
ويمكن استخدام القانون السابق في إيجاد البعد بين مستقيمين متوازيين0
مثال :-
أثبت أن المستقيمين ل1 : 3س – 4 ص + 2 = 0، ل2 : 6س – 8ص -7 =0 متوازيان ثم أوجد البعد بينهما0
الحــل :-
إ م1 = #؛4 ، م2 = #؛4 إ م1 = م2
إ ل 1 ]ل2
ولإيجاد البعد بينهما نعين نقطة على المستقيم الأول ثم نوجد بعدها عن المستقيم الثاني بوضع س = 2 في معادلة المستقيم ل1
إ ص = 2 إ (2 ، 2) ي ل1
إ ف = ‘6 × 2 – 8 × 2 – 7 ‘ = 1.1
10
إ البعد بين المستقيمين = 1.1 وحدة
تمرينـــــــات
(1) أوجد معادلات المستقيمات التي تحقق الشروط التالية :-
( أ ) الميل = -3 ويمر بالنقطة ( -1 ، 2 )
( ب) الميل = 4 والجزء المقطوع من محور الصادات = 2
( ج) يمر بالنقطتين ( -1 ، 4 ) ، ( 2 ، -3 )
(د) طول الجزء المقطوع من محور السينات 4 وحدات وطول الجزء المقطوع
من محور الصادات وحدتين 0
( هـ ) يمر بالنقطة ( -2 ، 3 ) ويوازي المستقيم 3 س – ص + 1 = 0
(و ) يمر بالنقطة ( 1 ، 4 ) وعمودي على المستقيم ص – س = 0
(2 ) أوجد المسافة بين المستقيمين المتوازيين 0
ص + س – 3 = 0 ، 2ص + س + 10 = 0
(3) أوجد مساحة المثلث الذي رؤوسه هي النقط :-
( 2 ، 2 ) ، ( 6 ، 5 ) ، ( 4 ، -6 )
(4) أوجد مساحة متوازي الأضلاع أ ب ج د حيث أ ( 4 ، -4 ) ، ب ( -1 ، -3 )
ج ( -3 ، 5 ) ، د ( 2 ، 4 )
(5 ) أثبت أن المستقيمان
ل1 : 3س – 4ص + 12 = 0
ل2 : 6س – 8 ص + 4 = 0
متوازيان ثم أوجد البعد بينهما 0
التحويلات الهندسية :-
* التحويل الهندسي هو تطبيق تقابل معرف على المستوى.
تدريب : اعتبر التحويل الهندسي
ت : سس سس حيث سس مجموعة نقاط المستوى 0
ت : (س ، ص ) = ( 2س ، ص + 3 )
فإذا كان ت ( م) = مَ فأوجد
مَ إذا كانت م ( -1 ،2 )
م إذا كانت مَ ( -3 ، 0 )
* الانعكاس :-
الانعكاس في محور :
هو تحويل هندسي يعين لكل نقطة أ في المستوى صورة أ َ على النحو التالي :- ل
إذا كانت أ ي ل فإن أ أ
وإذا كانت أ يي ل فأن أ أ َ حيث أ / / أ َ
أ أ َ ل ، أ د = أ َد
يسمى المحور ل محور الانعكاس
وكل نقطة من نقاط ل تسمى نقطة ثابتة 0
تدريب :
عين صورة النقطة ( س ، ص ) تحت تأثير
(1) انعكاس في محور السينات
(2) انعكاس في محور الصادات
(3) انعكاس في المستقيم ص = س
الانعكاس في نقطة م :
هو تحويل هندسي يعين لكل نقطة أ في المستوى صورة أ َ ام
بحيث يكون أ " م " أَ
أ م = أ َم ، م م 0
تسمى النقطة م ( مركز الانعكاس )
النقطة م هي النقطة الثانية الوحيدة0
خواص الانعكاس في محور ( أو في نقطة )
الانعكاس في محور ( أو في نقطة ) يحافظ على الاستقامة والبينية
وعلى قياس الزوايا وعلى الأطوال وعلى التوازي 0
والانعكاس في محور يعكس الاتجاه الدوراني
بينما الانعكاس في نقطة يحافظ على الاتجاه الدوراني 0
التناظر حول المحور :-
إذا كانت صورة الشكل بالانعكاس في محور هي الشكل نفسه 0
قيل أن الشكل متناظر حول هذا المحور ، وحينئذ يسمى المحور ( محور تناظر )
وإذا كانت صورة الشكل بالانعكاس في نقطة هي الشكل نفسه 0
قيل أن الشكل متناظر حول النقطة ، وحينئذ تسمى النقطة ( مركز تناظر )
تدريب :-
(1 ) أوجد صورة أ ( س ، ص ) تحت تأثير انعكاس في نقطة الأصل 0
(2) أعط أمثله لأشكال هندسية لها محاور تناظر 0
(3) أعط أمثله لأشكال هندسية لها مركز تناظر 0
* الانسحاب :-
الانسحاب هو تحويل هندسي يعين لكل نقطة أ في المستوى صورة أ َ وذلك بإزاحة هذه النقطة مسافة معينة باتجاه معين 0
خواص الانسحاب :-
يحافظ على البينة ، الاستقامة ، الأطوال ، قياس الزاويا ، التوازي وعلى الاتجاه الدوراني 0
تدريب :
أوجد صورة النقطة ( س، ص ) تحت تأثير الانسحاب المحدد 0
(1) انسحاب في اتجاة محور السينات الموجب مسافة قدرها أ وحدة 0
(2) انسحاب في اتجاه محور الصادات السالب مسافة قدرها ب وحدة 0
الدوران :
الدوران حول نقطة م هو تحويل هندسي يعين لكل نقطة أ في المستوى صورة على النحو الآتي :-
أ أ َ حيث أم = أ َ م ، م م 0
تسمى م ( مركز الدوران ) وتسمى الزاوية أ م أ َ ( زاوية الدوران )
وإذا كان قياس زاوية الدوران = هـ فإننا نعبر عن الدوران بالرمز د ( م ، هـ ) أو دم ،هـ
- تحت تأثير د ( م ، 90 ْ ) في مستوى الإحداثيات:-
( س ، ص ) ( - ص ، س )
تدريب :-
1) اذكر خواص الدوران 0
2) عين صورة نقطة أ تحت تأثير دوران حول نقطة أخرى م بزاوية قدرها 70 5
3) عين صورة نقطة ب تحت تأثير دوران حول نقطة أخرى م بزاوية قدرها -70 5
- الانعكاس في نقطة مثل م يكافىء دورانا مركزه النقطة م وزاويته قياسها 180 5أو-180 5 0
* التحويل الهندسي الذي يحافظ على قياس الأطوال يسمى تحويلا متقايسا 0
* التكبير :-
إذا كانت و نقطة في المستوى ، فإن التحويل الهندسي الذي يعين لكل نقطة أ ( غير و )
صورة أ الشعاع وأ بحيث يكون
وأ َ = عددا ثابتا ، و و
و أ
يسمى ( تكبيرا ) وتسمى النقطة الصامدة و ( مركز التكبير ) ويسمى العدد الثابت معامل التكبير
تدريب :
ارسم صورة المثلث أ ب جـ الذي رؤوسه 0
أ ( 1 ، 2 ) ، ب( - 1 ، 3 ) ، جـ ( -2 ، 4 ) تحت تأثير التكبير ت ( و ، 2 )
حيث " و " نقطة الأصل
التكبير له جميع خواص الانسحاب والدوران لكنه لا يحافظ على الأطوال 0
* في المثلث أ ب ج إذا أخذت نقطتان مثل : أ
س ، ص على ضلعين أ ب ، أ ج ____ ____
فإذا كان : ـــ = ـــ فإن س ص // ب ج س ص
___ ___
(2) وإذا كان س ص // ب ج فإن : أ س = أ ص ب ج
أ ب أ ج
* التشابه :-
يقال لمضلعين لهما العدد نفسه من الأضلاع أنهما متشابهان إذا تطابقة زواياها المتناظرة وتناسبت أطوال أضلاعها المتناظرة 0
أ أ َ
ب ج بَ جَ
أ ب ج أ َب َ ج َ
نظرية (1) يتشابه المثلثان إذا تطابقت زواياها المتناظرة 0 أ د
ــ = ــ = ــ
- برهن النظرية 0 ب ج هـَ و
نظرية ( 2 ) يتشابة المثلثان اذا تناسبت أطوال أضلاعها المتناظرة 0
بم ــ = ــ = ــ
إ د هـ و أ ب ج
- برهن النظرية :-
نظرية ( 3 )
يتشابه المثلثان إذا طابقت زاوية في المثلث زاوية في المثلث الآخر وتناسب طولا الضلعين المحددين لهاتين الزاويتين0 أ د
ق ا ؟ = ق ء ؟
ـــ = ـــ ب ج هـ و
إ المثلث أ ب ج ~ المثلث د ه و
- برهن النظرية :-
- مناقشة تمرينات من كتاب الطالب على التكبير والتشابه 0
السبت، 2 مايو 2009
فضيلة المرشد العام يكتب: حديث من القلب
(1) وقل اعملوا الحمد لله، والصلاة والسلام على رسول الله، وعلى آله وصحبه ومن والاه..
قال تعالى: ﴿وَقُلِ اعملوا فَسَيَرَى الله عَمَلَكُمْ وَرَسُولُهُ وَالْمُؤْمِنُونَ﴾ (التوبة: من الآية 105)؛ أي أن عملكم لا يخفى على الله ولا على رسوله ولا على المؤمنين، ومن علم أن عمله لا يخفى رغب في أعمال الخير، وتجنَّب أعمالَ الشرَّ، بهمَّةٍ عاليةٍ مع إخلاص النية لله عزَّ وجلَّ، فالهمَّة العالية والنيَّة الخالصة إذا اجتمعتا بلغتا بالعبد غايةَ المراد.. قال تعالى: ﴿فَإِذَا عَزَمَ الْأَمْرُ فَلَوْ صَدَقُوا اللَّهَ لَكَانَ خَيْرًا لَهُمْ﴾ (محمد: من الآية 21).
الرسالة العظيمة لا بدَّ لها من همَّة عالية..
أيها الإخوان.. هذا نداءُ الله إليكم وإلى الناس أجمعين، وأنتم أَولى الناس بالمسارعة في الطاعات؛ لأنكم تحملون أعظم رسالة.. رسالة محمد صلى الله عليه وسلم، التي تحمل الخيرَ للدنيا بأسْرها، والتي لا يمكن أن تبلغَ غايتَها إلا بدعاةٍ يأخذون دينَهم بقوةٍ، ويتحمَّلون المسئوليةَ بجدٍّ وعزمٍ، قال تعالى: ﴿يَا يَحْيَى خُذِ الْكِتَابَ بِقُوَّةٍ﴾ (مريم: من الآية 12)، وقال: ﴿وَكَتَبْنَا لَهُ فِي الأَلْوَاحِ مِن كُلِّ شَيْءٍ مَّوْعِظَةً وَتَفْصِيلاً لِّكُلِّ شَيْءٍ فَخُذْهَا بِقُوَّةٍ﴾ (الأعراف: من الآية 145) وقال: ﴿خُذُوا مَا آتَيْنَاكُم بِقُوَّةٍ﴾ (البقرة: من الآية 63).فأَخْذُ هذا الكتابِ وحَمْلُ هذه الرسالةِ يحتاج إلى إحساسٍ عظيمٍ بالمسئولية، وشدةِ عزيمة وقوة شكيمة, ولا يطيق ذلك إلا الكرامُ الأخيارُ المستعدُّون للبذل والتضحية.. يقول الأستاذ الإمام حسن البنا رحمه الله لشباب الدعوة: "إنما تنجحُ الفكرةُ إذا قَوِيَ الإيمانُ بها، وتوفَّر الإخلاصُ في سبيلها، وازدادت الحماسةُ لها، ووُجد الاستعدادُ الذي يحمل على التضحية والعمل لتحقيقها".
أنتم الرواحل في هذه الأمة..
قَالَ رَسُولُ اللَّهِ صلى الله عليه وسلم: "تَجِدُونَ النَّاسَ كَإِبِلٍ مِائَةٍ لاَ يَجِدُ الرَّجُلُ فِيهَا رَاحِلَةً" وفي رواية: "لاَ تَكَادُ تَجِدُ فِيهَا رَاحِلَةً" (رواه الشيخان)، والراحلة: هي الجملُ النجيبُ القويُّ على حمل الأثقال وطول الأسفار مع جمال المنظر وحسن الهيئة، وهو قليلٌ نادرٌ، وكذلك المُنْتَجَبون من الناس القادرون على حمل الأعباء وتحمُّل المشاقِّ والتضحية من أجل الغايات العظيمة؛ هم قلة، لا تكاد تعثر في كل مائةٍ من الناس على واحدٍ منهم، قَالَ رَسُولُ اللَّهِ صلى الله عليه وسلم: "لاَ نَعْلَمُ شَيْئًا خَيْرًا مِنْ مِائَةٍ مِثْلِهِ إِلَّا الرَّجُلَ الْمُؤْمِنَ" (أحمد) وفي رواية: "لا نَعْلَمُ شَيْئًا خَيْرًا مِنْ أَلْفٍ مِثْلِهُ إِلَّا الرَّجُلَ الْمُؤْمِنَ" (الطبراني)، ولمثل هذا تتم عملية التربية في دعوتكم، أيها الإخوان، فلستم من أولئك الذين قيل فيهم: إنّي لأفتَحُ عَينِيَ حِينَ أفتَحُها عَلَى كَثِيرٍ ولكن لا أرى أحَدا
بل إنكم تهيِّئون أنفسكم للقيام بدورٍ عظيمٍ في خدمة دينِكم وأمتِكم، تنهضون به، وتُنْهِضون الأمةَ معكم، ولهذا قال الإمامُ الشهيدُ المؤسِّسُ رحمه الله: "ومن هنا كثُرتْ واجباتُكم، ومن هنا عظُمتْ تبعاتُكم، ومن هنا تضاعفت حقوقُ أمتكم عليكم، ومن هنا ثقُلت الأمانةُ في أعناقكم، ومن هنا وجب عليكم أن تفكِّروا طويلاً، وأن تعملوا كثيرًا، وأن تحدِّدوا موقفَكم، وأن تتقدَّموا للإنقاذ، وأن تُعْطُوا الأمةَ حقَّها كاملاً من هذا الشباب".
لا تكونوا إمعات..
أيها الإخوان، إن وضوحَ أهدافِكم ونُبلَ غاياتِكم وسُمُوَّ مقاصدِكم، وتَفَهُّمَكم لحاجةِ الدنيا إلى دعوتكم لحَرِيٌّ أن يجددَ عزائمكم ويطلقَ طاقاتكم، ويدفعَكم إلى مقدمة صفوف المصلحين، ويمنعكم من التكاسل والفتور، أو التراخي والتردُّد، أو الاتصاف بالإمعية، وها هو نبينا صلى الله عليه وسلم يقول: "لاَ تَكُونُوا إِمَّعَةً، تَقُولُونَ: إِنْ أَحْسَنَ النَّاسُ أَحْسَنَّا، وَإِنْ ظَلَمُوا ظَلَمْنَا، وَلَكِنْ وَطِّنُوا أَنْفُسَكُمْ؛ إِنْ أَحْسَنَ النَّاسُ أَنْ تُحْسِنُوا، وَإِنْ أَسَاءُوا فَلاَ تَظْلِمُوا" (الترمذي).يقول الأخ الأستاذ البهي الخولي رحمه الله: "إن الداعية يجب أن يشعر بأن دعوتَه حيَّةٌ في أعصابه، متوهِّجة في ضميره، تصيح في دمائه، فتُعْجِله عن الراحة والدعة إلى الحركة والعمل، وتشغله بها في نفسه وولده وماله، وهذا هو الداعيةُ الصادقُ الذي تُحِسُّ إيمانَه بدعوتِه في النظرةِ والحركةِ والإشارةِ، وفي السِّمَةِ التي تختلط بماءِ وجهِه".من هذا المنطلق أردت أن أناجيَكم- أيها الأحبةُ- بهذه السلسلةِ من (حديث من القلب) أذكِّركم ونفسي فيه بواجبنا الأكبر ومهمَّتنا العظيمة، لتنهض هممُنا، وتَنْشط عزائمُنا، ونغادر الكسلَ والفتورَ، ونكون عند أمرِ الله لنا، وعند حُسْنِ ظنِّ أمتِنا بنا، لا يثنينا عن واجبنا ودعوتنا كثرةُ الخصوم ولا تكالب قوى الشر. وأنا على يقينٍ أننا إذا حقَّقنا القوةَ في حَمْل دعوتِنا فسيقرِّب الله يومَ النصر ويحققُ الآمال، قال تعالى ﴿وَالَّذِينَ يُمَسِّكُونَ بِالْكِتَابِ وَأَقَامُوا الصَّلَاةَ إِنَّا لَا نُضِيعُ أَجْرَ الْمُصْلِحِينَ﴾ (الأعراف: 170).وتأمَّل أخي الكريم ما في قوله ﴿يُمَسِّكُونَ﴾ من دلالةٍ على القوة والحرص والعزم والجزم والهمَّة في الأخذ بالكتاب!.
وإلى لقاء آخر مع (حديث من القلب) أستودعكم الله الذي لا تضيع ودائعه.. والله أكبر ولله الحمد.
محمد مهدي عاكف المرشد العام للإخوان المسلمين
(1) وقل اعملوا الحمد لله، والصلاة والسلام على رسول الله، وعلى آله وصحبه ومن والاه..
قال تعالى: ﴿وَقُلِ اعملوا فَسَيَرَى الله عَمَلَكُمْ وَرَسُولُهُ وَالْمُؤْمِنُونَ﴾ (التوبة: من الآية 105)؛ أي أن عملكم لا يخفى على الله ولا على رسوله ولا على المؤمنين، ومن علم أن عمله لا يخفى رغب في أعمال الخير، وتجنَّب أعمالَ الشرَّ، بهمَّةٍ عاليةٍ مع إخلاص النية لله عزَّ وجلَّ، فالهمَّة العالية والنيَّة الخالصة إذا اجتمعتا بلغتا بالعبد غايةَ المراد.. قال تعالى: ﴿فَإِذَا عَزَمَ الْأَمْرُ فَلَوْ صَدَقُوا اللَّهَ لَكَانَ خَيْرًا لَهُمْ﴾ (محمد: من الآية 21).
الرسالة العظيمة لا بدَّ لها من همَّة عالية..
أيها الإخوان.. هذا نداءُ الله إليكم وإلى الناس أجمعين، وأنتم أَولى الناس بالمسارعة في الطاعات؛ لأنكم تحملون أعظم رسالة.. رسالة محمد صلى الله عليه وسلم، التي تحمل الخيرَ للدنيا بأسْرها، والتي لا يمكن أن تبلغَ غايتَها إلا بدعاةٍ يأخذون دينَهم بقوةٍ، ويتحمَّلون المسئوليةَ بجدٍّ وعزمٍ، قال تعالى: ﴿يَا يَحْيَى خُذِ الْكِتَابَ بِقُوَّةٍ﴾ (مريم: من الآية 12)، وقال: ﴿وَكَتَبْنَا لَهُ فِي الأَلْوَاحِ مِن كُلِّ شَيْءٍ مَّوْعِظَةً وَتَفْصِيلاً لِّكُلِّ شَيْءٍ فَخُذْهَا بِقُوَّةٍ﴾ (الأعراف: من الآية 145) وقال: ﴿خُذُوا مَا آتَيْنَاكُم بِقُوَّةٍ﴾ (البقرة: من الآية 63).فأَخْذُ هذا الكتابِ وحَمْلُ هذه الرسالةِ يحتاج إلى إحساسٍ عظيمٍ بالمسئولية، وشدةِ عزيمة وقوة شكيمة, ولا يطيق ذلك إلا الكرامُ الأخيارُ المستعدُّون للبذل والتضحية.. يقول الأستاذ الإمام حسن البنا رحمه الله لشباب الدعوة: "إنما تنجحُ الفكرةُ إذا قَوِيَ الإيمانُ بها، وتوفَّر الإخلاصُ في سبيلها، وازدادت الحماسةُ لها، ووُجد الاستعدادُ الذي يحمل على التضحية والعمل لتحقيقها".
أنتم الرواحل في هذه الأمة..
قَالَ رَسُولُ اللَّهِ صلى الله عليه وسلم: "تَجِدُونَ النَّاسَ كَإِبِلٍ مِائَةٍ لاَ يَجِدُ الرَّجُلُ فِيهَا رَاحِلَةً" وفي رواية: "لاَ تَكَادُ تَجِدُ فِيهَا رَاحِلَةً" (رواه الشيخان)، والراحلة: هي الجملُ النجيبُ القويُّ على حمل الأثقال وطول الأسفار مع جمال المنظر وحسن الهيئة، وهو قليلٌ نادرٌ، وكذلك المُنْتَجَبون من الناس القادرون على حمل الأعباء وتحمُّل المشاقِّ والتضحية من أجل الغايات العظيمة؛ هم قلة، لا تكاد تعثر في كل مائةٍ من الناس على واحدٍ منهم، قَالَ رَسُولُ اللَّهِ صلى الله عليه وسلم: "لاَ نَعْلَمُ شَيْئًا خَيْرًا مِنْ مِائَةٍ مِثْلِهِ إِلَّا الرَّجُلَ الْمُؤْمِنَ" (أحمد) وفي رواية: "لا نَعْلَمُ شَيْئًا خَيْرًا مِنْ أَلْفٍ مِثْلِهُ إِلَّا الرَّجُلَ الْمُؤْمِنَ" (الطبراني)، ولمثل هذا تتم عملية التربية في دعوتكم، أيها الإخوان، فلستم من أولئك الذين قيل فيهم: إنّي لأفتَحُ عَينِيَ حِينَ أفتَحُها عَلَى كَثِيرٍ ولكن لا أرى أحَدا
بل إنكم تهيِّئون أنفسكم للقيام بدورٍ عظيمٍ في خدمة دينِكم وأمتِكم، تنهضون به، وتُنْهِضون الأمةَ معكم، ولهذا قال الإمامُ الشهيدُ المؤسِّسُ رحمه الله: "ومن هنا كثُرتْ واجباتُكم، ومن هنا عظُمتْ تبعاتُكم، ومن هنا تضاعفت حقوقُ أمتكم عليكم، ومن هنا ثقُلت الأمانةُ في أعناقكم، ومن هنا وجب عليكم أن تفكِّروا طويلاً، وأن تعملوا كثيرًا، وأن تحدِّدوا موقفَكم، وأن تتقدَّموا للإنقاذ، وأن تُعْطُوا الأمةَ حقَّها كاملاً من هذا الشباب".
لا تكونوا إمعات..
أيها الإخوان، إن وضوحَ أهدافِكم ونُبلَ غاياتِكم وسُمُوَّ مقاصدِكم، وتَفَهُّمَكم لحاجةِ الدنيا إلى دعوتكم لحَرِيٌّ أن يجددَ عزائمكم ويطلقَ طاقاتكم، ويدفعَكم إلى مقدمة صفوف المصلحين، ويمنعكم من التكاسل والفتور، أو التراخي والتردُّد، أو الاتصاف بالإمعية، وها هو نبينا صلى الله عليه وسلم يقول: "لاَ تَكُونُوا إِمَّعَةً، تَقُولُونَ: إِنْ أَحْسَنَ النَّاسُ أَحْسَنَّا، وَإِنْ ظَلَمُوا ظَلَمْنَا، وَلَكِنْ وَطِّنُوا أَنْفُسَكُمْ؛ إِنْ أَحْسَنَ النَّاسُ أَنْ تُحْسِنُوا، وَإِنْ أَسَاءُوا فَلاَ تَظْلِمُوا" (الترمذي).يقول الأخ الأستاذ البهي الخولي رحمه الله: "إن الداعية يجب أن يشعر بأن دعوتَه حيَّةٌ في أعصابه، متوهِّجة في ضميره، تصيح في دمائه، فتُعْجِله عن الراحة والدعة إلى الحركة والعمل، وتشغله بها في نفسه وولده وماله، وهذا هو الداعيةُ الصادقُ الذي تُحِسُّ إيمانَه بدعوتِه في النظرةِ والحركةِ والإشارةِ، وفي السِّمَةِ التي تختلط بماءِ وجهِه".من هذا المنطلق أردت أن أناجيَكم- أيها الأحبةُ- بهذه السلسلةِ من (حديث من القلب) أذكِّركم ونفسي فيه بواجبنا الأكبر ومهمَّتنا العظيمة، لتنهض هممُنا، وتَنْشط عزائمُنا، ونغادر الكسلَ والفتورَ، ونكون عند أمرِ الله لنا، وعند حُسْنِ ظنِّ أمتِنا بنا، لا يثنينا عن واجبنا ودعوتنا كثرةُ الخصوم ولا تكالب قوى الشر. وأنا على يقينٍ أننا إذا حقَّقنا القوةَ في حَمْل دعوتِنا فسيقرِّب الله يومَ النصر ويحققُ الآمال، قال تعالى ﴿وَالَّذِينَ يُمَسِّكُونَ بِالْكِتَابِ وَأَقَامُوا الصَّلَاةَ إِنَّا لَا نُضِيعُ أَجْرَ الْمُصْلِحِينَ﴾ (الأعراف: 170).وتأمَّل أخي الكريم ما في قوله ﴿يُمَسِّكُونَ﴾ من دلالةٍ على القوة والحرص والعزم والجزم والهمَّة في الأخذ بالكتاب!.
وإلى لقاء آخر مع (حديث من القلب) أستودعكم الله الذي لا تضيع ودائعه.. والله أكبر ولله الحمد.
محمد مهدي عاكف المرشد العام للإخوان المسلمين
الاشتراك في:
التعليقات (Atom)